محاسبه میانگین و آمار توصیفی

راهنمای استفاده از محاسبه میانگین

1. اعداد را با فاصله، ویرگول یا هر عدد در یک خط وارد کنید.
2. برای میانگین وزنی، گزینهٔ مربوط را فعال و وزن‌ها را به همان ترتیب وارد کنید.
3. شاخص‌های آماری فورا محاسبه می‌شوند.

محاسبه میانگین؛ ساده‌ترین خلاصهٔ داده

میانگین حسابی، که در گفت‌وگوی روزمره فقط میانگین گفته می‌شود، مجموع عددها تقسیم بر تعداد آن‌هاست. در نمونهٔ پیش‌فرض ابزار، عددهای ۱۲، ۱۵، ۱۸، ۱۵، ۲۰، ۱۷، ۱۵ و ۱۹ مجموعی برابر ۱۳۱ دارند و چون هشت عددند، میانگین ۱۳۱ تقسیم بر ۸، یعنی ۱۶٫۳۷۵ است. میانگین، عددی است که اگر همهٔ عددها برابر آن بودند، مجموع تغییر نمی‌کرد. به همین دلیل، برای پرسش‌هایی مثل اینکه هر نفر به طور میانگین چقدر سهم دارد یا هر ماه به طور میانگین چقدر خرج شده، پاسخ درست است.

اما میانگین یک ضعف بزرگ دارد: به عددهای بسیار بزرگ یا بسیار کوچک حساس است. یک عدد پرت می‌تواند میانگین را آن‌قدر جابه‌جا کند که دیگر نمایندهٔ هیچ‌کدام از عددها نباشد. برای همین، ابزار شاخص‌های دیگری را هم کنار میانگین نشان می‌دهد تا تصویر کامل‌تری از داده‌ها داشته باشید.

میانه؛ عدد وسط

میانه، عددی است که پس از مرتب کردن داده‌ها، درست در وسط قرار می‌گیرد؛ نیمی از عددها کمتر و نیمی بیشتر از آن‌اند. اگر تعداد عددها فرد باشد، میانه همان عدد وسط است. اگر زوج باشد، میانگین دو عدد وسط است. در نمونهٔ پیش‌فرض، عددهای مرتب‌شده ۱۲، ۱۵، ۱۵، ۱۵، ۱۷، ۱۸، ۱۹ و ۲۰ هستند و دو عدد وسط ۱۵ و ۱۷؛ پس میانه ۱۶ است.

مزیت میانه، مقاومت در برابر عددهای پرت است. فرض کنید حقوق پنج کارمند یک شرکت کوچک ۸، ۹، ۱۰، ۱۱ و ۱۲ میلیون تومان است. میانگین و میانه هر دو ۱۰ میلیون‌اند. حالا حقوق ۶۰ میلیونی مدیر را اضافه کنید. میانگین به حدود ۱۸٫۳ میلیون می‌رسد، در حالی که هیچ‌کدام از کارمندان حتی نزدیک به این عدد حقوق نمی‌گیرند. میانه اما ۱۰٫۵ میلیون است که تصویر درست‌تری از حقوق معمول می‌دهد. به همین دلیل، آمار درآمد، قیمت خانه و دارایی معمولا با میانه گزارش می‌شود.

مد؛ پرتکرارترین عدد

مد، عددی است که بیش از بقیه تکرار شده است. در نمونهٔ پیش‌فرض، ۱۵ سه بار آمده و مد است. اگر چند عدد به یک اندازه بیشترین تکرار را داشته باشند، ابزار همهٔ آن‌ها را، تا چهار عدد، نشان می‌دهد. اگر هیچ عددی تکرار نشده باشد، مد ندارد و ابزار همین را می‌نویسد. مد برای داده‌های عددی پیوسته، مثل وزن دقیق یا قد، کمتر کاربرد دارد، چون تکرار دقیق یک عدد اعشاری نادر است. اما برای داده‌هایی مثل سایز کفش، نمرهٔ صحیح یا تعداد فرزندان، پاسخ این پرسش است که رایج‌ترین حالت چیست.

فروشگاهی که می‌خواهد بداند از کدام سایز کفش بیشتر سفارش دهد، به مد نیاز دارد، نه میانگین. میانگین سایزها ممکن است ۴۱٫۳ باشد که اصلا وجود ندارد؛ مد، سایزی است که بیشترین مشتری را دارد.

مجموع، دامنه، کمینه و بیشینه

مجموع، همهٔ عددها با هم است و برای حساب‌هایی مثل جمع هزینه‌های ماه یا جمع نمره‌ها به کار می‌آید. کمینه و بیشینه، کوچک‌ترین و بزرگ‌ترین عددند و دامنه، فاصلهٔ میان آن دو. در نمونهٔ پیش‌فرض، کمینه ۱۲، بیشینه ۲۰ و دامنه ۸ است. دامنه ساده‌ترین معیار پراکندگی است، اما فقط به دو عدد کناری نگاه می‌کند و یک عدد پرت، آن را بسیار بزرگ می‌کند. برای سنجش دقیق‌تر پراکندگی، انحراف معیار مناسب‌تر است.

انحراف معیار و واریانس؛ پراکندگی داده

دو کلاس را در نظر بگیرید که میانگین نمرهٔ هر دو ۱۵ است. در کلاس اول، همه بین ۱۴ و ۱۶ گرفته‌اند. در کلاس دوم، نیمی ۱۰ و نیمی ۲۰ گرفته‌اند. میانگین یکی است، اما این دو کلاس بسیار متفاوت‌اند. انحراف معیار، همین تفاوت را نشان می‌دهد: اینکه عددها به طور معمول چقدر از میانگین فاصله دارند. در کلاس اول، انحراف معیار کوچک و در کلاس دوم، بزرگ است.

واریانس، میانگین مجذور فاصلهٔ هر عدد از میانگین است و انحراف معیار، جذر واریانس. چون واریانس از مجذورها ساخته شده، یکایش مجذور یکای داده است و برای تفسیر، انحراف معیار که هم‌یکای داده است، گویاتر است. در نمونهٔ پیش‌فرض، واریانس حدود ۵٫۹۸ و انحراف معیار جامعه حدود ۲٫۴۵ است؛ یعنی عددها به طور معمول حدود دو و نیم واحد از میانگین ۱۶٫۳۷۵ فاصله دارند.

انحراف معیار نمونه یا جامعه؟

ابزار دو انحراف معیار نشان می‌دهد. انحراف معیار جامعه، واریانس را بر تعداد عددها تقسیم می‌کند و برای وقتی است که همهٔ اعضای گروه را دارید؛ مثلا نمرهٔ همهٔ دانش‌آموزان یک کلاس. انحراف معیار نمونه، بر تعداد منهای یک تقسیم می‌کند و برای وقتی است که داده‌ها نمونه‌ای از گروهی بزرگ‌ترند و می‌خواهید پراکندگی آن گروه بزرگ را تخمین بزنید؛ مثلا قد ۳۰ نفر از دانش‌آموزان یک شهر. در نمونهٔ پیش‌فرض، انحراف معیار نمونه حدود ۲٫۶۲ است که کمی از انحراف معیار جامعه بزرگ‌تر است.

چرا تقسیم بر تعداد منهای یک؟ چون نمونه معمولا پراکندگی کمتری از کل جامعه نشان می‌دهد و این اصلاح کوچک، تخمین را بدون سوگیری می‌کند. هرچه تعداد داده‌ها بیشتر باشد، فرق این دو عدد کمتر می‌شود. در گزارش‌های پژوهشی و پایان‌نامه‌ها، تقریبا همیشه انحراف معیار نمونه گزارش می‌شود؛ اگر تردید دارید کدام را بنویسید، همین را انتخاب کنید. با یک عدد، انحراف معیار نمونه تعریف نمی‌شود و ابزار خط تیره نشان می‌دهد.

میانگین وزنی؛ معدل و نمرهٔ کل

وقتی همهٔ عددها اهمیت یکسانی ندارند، میانگین ساده نادرست است. رایج‌ترین نمونه، معدل است: درسی سه‌واحدی باید سه برابر درسی یک‌واحدی در معدل اثر بگذارد. میانگین وزنی، هر عدد را در وزنش ضرب می‌کند، حاصل‌ها را جمع می‌کند و بر مجموع وزن‌ها تقسیم می‌کند. با نمره‌های ۱۸، ۱۵، ۱۲، ۱۷ و ۱۹ و واحدهای ۳، ۲، ۱، ۳ و ۲، معدل حدود ۱۶٫۸۲ است؛ در حالی که میانگین ساده ۱۶٫۲ است.

برای محاسبهٔ میانگین وزنی، کلید آن را روشن کنید و وزن‌ها را به همان ترتیب عددها بنویسید. اگر تعداد وزن‌ها با تعداد عددها برابر نباشد، ابزار در برچسب نتیجه هشدار می‌دهد و میانگین ساده را نشان می‌دهد. توجه کنید که با روشن کردن میانگین وزنی، فقط خود میانگین وزنی می‌شود و بقیهٔ شاخص‌ها، مثل میانه و انحراف معیار، همچنان بدون وزن حساب می‌شوند. برای معدل با جزئیات بیشتر، مثل درس‌های افتاده و ترم‌های مختلف، محاسبهٔ معدل ساخته شده است.

میانگین وزنی کاربردهای دیگری هم دارد. قیمت میانگین خرید سهامی که در چند نوبت با قیمت‌ها و تعدادهای مختلف خریده‌اید، میانگین وزنی قیمت‌ها با وزن تعداد است. نمرهٔ کل درسی که آزمون میان‌ترم ۳۰ درصد و پایان‌ترم ۵۰ درصد و تکلیف‌ها ۲۰ درصد آن را می‌سازند، میانگین وزنی با همین درصدها به عنوان وزن است. نمرهٔ کلی آیلتس هم میانگین چهار مهارت است که با قاعدهٔ گرد کردن ویژه‌ای به نزدیک‌ترین نیم نمره می‌رسد؛ برای آن، محاسبهٔ نمرهٔ آیلتس را ببینید.

میانگین هندسی؛ برای رشد و نسبت‌ها

میانگین هندسی، ریشهٔ nام حاصل‌ضرب n عدد است و برای داده‌هایی که در هم ضرب می‌شوند، مثل نرخ‌های رشد، پاسخ درست را می‌دهد. فرض کنید سرمایه‌ای یک سال ۵۰ درصد رشد و سال بعد ۵۰ درصد افت کرده است. ضریب‌ها ۱٫۵ و ۰٫۵ هستند. میانگین حسابی آن‌ها ۱ است که یعنی بدون تغییر؛ اما سرمایه از ۱۰۰ به ۱۵۰ و بعد به ۷۵ رسیده است. میانگین هندسی، جذر ۱٫۵ ضرب در ۰٫۵، حدود ۰٫۸۶۶ است؛ یعنی سالی حدود ۱۳٫۴ درصد افت، که درست است.

ابزار میانگین هندسی را فقط وقتی حساب می‌کند که همهٔ عددها مثبت باشند؛ اگر عدد صفر یا منفی در داده باشد، خط تیره نشان می‌دهد. برای میانگین نرخ‌های رشد، ضریب‌ها را وارد کنید، نه خود درصدها؛ یعنی ۱٫۵ و ۰٫۵، نه ۵۰ و منفی ۵۰. برای رشد سالانهٔ میانگین از روی عدد اول و آخر، محاسبهٔ درصد تغییرات روش دیگری را توضیح می‌دهد.

میانگین هارمونیک؛ برای سرعت و نرخ‌ها

میانگین هارمونیک، تعداد عددها تقسیم بر مجموع وارون آن‌هاست و برای میانگین گرفتن از نرخ‌هایی مثل سرعت، وقتی مسافت‌ها برابرند، پاسخ درست را می‌دهد. اگر مسیری را با سرعت ۶۰ کیلومتر بر ساعت بروید و با سرعت ۴۰ برگردید، سرعت میانگین ۵۰ نیست؛ چون زمان بیشتری را با سرعت کمتر گذرانده‌اید. میانگین هارمونیک ۶۰ و ۴۰، ۴۸ کیلومتر بر ساعت است. فرض کنید مسیر ۱۲۰ کیلومتر است: رفت دو ساعت و برگشت سه ساعت طول می‌کشد؛ ۲۴۰ کیلومتر در پنج ساعت، یعنی همان ۴۸.

همین منطق برای مصرف سوخت، قیمت میانگین با مبلغ ثابت خرید و بسیاری از نرخ‌های دیگر کار می‌کند. اگر هر ماه مبلغ ثابتی سکه یا ارز بخرید، قیمت میانگین خرید شما، میانگین هارمونیک قیمت‌هاست، نه میانگین حسابی آن‌ها. میانگین هارمونیک هم فقط برای عددهای مثبت حساب می‌شود.

سه میانگین کنار هم

برای هر مجموعه عدد مثبت، میانگین هارمونیک از هندسی و هندسی از حسابی کوچک‌تر یا با آن برابر است. فقط وقتی همهٔ عددها برابرند، این سه یکی می‌شوند. در نمونهٔ پیش‌فرض، هارمونیک حدود ۱۵٫۹۹، هندسی حدود ۱۶٫۱۹ و حسابی ۱۶٫۳۷۵ است. هرچه عددها پراکنده‌تر باشند، فاصلهٔ این سه بیشتر می‌شود. این ترتیب، راه خوبی برای بررسی درستی محاسبه‌های دستی است: اگر میانگین هندسی‌تان از حسابی بزرگ‌تر شد، جایی اشتباه کرده‌اید.

داده‌های پرت؛ پیش از میانگین گرفتن نگاه کنید

پیش از گزارش هر میانگینی، کمینه و بیشینه را ببینید. اگر یکی از آن‌ها بسیار دور از بقیه است، دو حالت دارد: یا اشتباه تایپی است، مثل نوشتن ۱۷۰ به جای ۱۷، یا عددی واقعی اما استثنایی است. حالت اول را اصلاح کنید. در حالت دوم، میانه را کنار میانگین گزارش کنید یا روشن بنویسید که عدد پرت چه اثری دارد. حذف عدد پرت واقعی، فقط برای اینکه میانگین زیباتر شود، نادرست است.

کاربرد در پژوهش و گزارش کار

در پایان‌نامه‌ها و مقاله‌ها، آمار توصیفی معمولا با میانگین و انحراف معیار نمونه گزارش می‌شود؛ به شکل میانگین به علاوه یا منهای انحراف معیار. اگر داده‌ها چوله‌اند، یعنی یک طرف آن‌ها کشیده‌تر است، میانه و دامنهٔ میان‌چارکی مناسب‌ترند. در گزارش کار آزمایشگاه، میانگین چند تکرار به عنوان مقدار تجربی به کار می‌رود و انحراف معیار، پراکندگی تکرارها را نشان می‌دهد؛ برای مقایسهٔ این مقدار با مقدار واقعی، محاسبهٔ درصد خطا را ببینید.

وارد کردن داده از اکسل و جدول

اگر داده‌ها در اکسل یا گوگل‌شیت‌اند، لازم نیست آن‌ها را یکی‌یکی تایپ کنید. یک ستون را انتخاب و کپی کنید و در کادر عددها بچسبانید؛ هر سلول در یک خط قرار می‌گیرد و ابزار خط‌ها را به عنوان جداکننده می‌شناسد. جداکنندهٔ هزارگان فارسی، مثل ۱٬۲۵۰٬۰۰۰، درست خوانده می‌شود؛ اما ویرگول انگلیسی جداکنندهٔ عددهاست و عددی مثل 1,250,000 را سه عدد جدا می‌خواند. پیش از کپی، قالب سلول‌ها را در اکسل بدون جداکنندهٔ هزارگان کنید. سلول‌های خالی و متن‌های غیرعددی نادیده گرفته می‌شوند، پس عنوان ستون را هم می‌شود با داده‌ها کپی کرد. پس از چسباندن، عدد تعداد زیر میانگین را با تعداد ردیف‌های جدول مقایسه کنید تا مطمئن شوید همهٔ عددها خوانده شده‌اند.

نمونهٔ کامل؛ خلاصهٔ نمره‌های یک کلاس

فرض کنید معلمی نمره‌های بیست دانش‌آموز را دارد و می‌خواهد گزارشی کوتاه برای جلسهٔ اولیا بنویسد. نمره‌ها را در ابزار می‌چسباند. میانگین می‌گوید سطح کلی کلاس کجاست. میانه می‌گوید دانش‌آموز معمولی کلاس چه نمره‌ای دارد و اگر با میانگین فاصلهٔ زیادی داشته باشد، یعنی چند نمرهٔ بسیار پایین یا بالا میانگین را جابه‌جا کرده‌اند. کمینه و بیشینه نشان می‌دهند ضعیف‌ترین و قوی‌ترین نمره کجاست. انحراف معیار هم می‌گوید کلاس یکدست است یا فاصلهٔ دانش‌آموزان زیاد است؛ کلاسی با انحراف معیار بزرگ، احتمالا به آموزش گروه‌بندی‌شده نیاز دارد.

با همین چند عدد، گزارش دقیق‌تر از یک جملهٔ کلی می‌شود: میانگین کلاس ۱۵٫۴ است، اما نیمی از کلاس زیر ۱۴ گرفته‌اند و پراکندگی نمره‌ها زیاد است. این جمله، تصمیم‌گیری را ساده‌تر می‌کند؛ میانگین به تنهایی، این را نمی‌گفت.

ابزارهای مرتبط

اگر می‌خواهید سهم هر عدد از مجموع را به درصد ببینید، محاسبهٔ درصد و برای ساختن داده‌های تصادفی برای تمرین، عدد تصادفی کمک می‌کنند. بقیهٔ ماشین‌حساب‌ها در ابزارهای ریاضی آمده‌اند.