فهرست مطالب
محاسبه تناسب با این ابزار، با سه عدد معلوم انجام میشود و عدد چهارم را پیدا می‌کند. بالای صفحه، نوع تناسب را انتخاب کنید: مستقیم یا معکوس. در تناسب مستقیم، سه عدد را به شکل a به b مثل c به x می‌نویسید و ابزار x را حساب می‌کند. در تناسب معکوس، شکل آن a ضرب در b برابر c ضرب در x است. نتیجه با فرمول به‌کاررفته و یک جملهٔ توضیحی دربارهٔ نوع تناسب نمایش داده میشود. با عددهای پیش‌فرض ۳ و ۴۵۰ و ۵، تناسب مستقیم ۷۵۰ و تناسب معکوس ۲۷۰ می‌دهد. عددهای اعشاری و منفی پذیرفته میشوند و نتیجه با هر تغییر، بی‌درنگ به‌روز میشود. اگر عددی که باید بر آن تقسیم شود صفر باشد، ابزار نتیجه‌ای نشان نمی‌دهد.
راهنمای استفاده از محاسبه تناسب
- نوع تناسب را انتخاب کنید.
- مقادیر a، b و c را وارد کنید.
- مقدار x محاسبه میشود.
محاسبه تناسب؛ نسبت چیست؟
نسبت، مقایسهٔ دو مقدار با تقسیم است. اگر در کلاسی ۱۲ دختر و ۱۸ پسر باشند، نسبت دخترها به پسرها ۱۲ به ۱۸ است که ساده‌شده‌اش ۲ به ۳ میشود؛ یعنی به ازای هر ۲ دختر، ۳ پسر. نسبت همان کسر است، با این فرق که معمولا با علامت دونقطه نوشته میشود. تناسب، تساوی دو نسبت است: ۲ به ۳ مثل ۴ به ۶. وقتی سه عدد از یک تناسب را بدانیم، عدد چهارم را میشود پیدا کرد و این، کار اصلی این ابزار است.
برای ساده کردن یک نسبت، هر دو عدد را بر بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترکشان تقسیم کنید؛ همان کاری که با کسر می‌کنید. ۱۲ به ۱۸، با ب.م.م ۶، به ۲ به ۳ ساده میشود. نسبت‌هایی با عددهای اعشاری را با ضرب در توانی از ۱۰ صحیح کنید: ۱٫۵ به ۲٫۵ همان ۱۵ به ۲۵، یعنی ۳ به ۵ است. برای پیدا کردن ب.م.م، ب.م.م و ک.م.م کمک می‌کند.
تناسب مستقیم؛ هر دو با هم
در تناسب مستقیم، دو مقدار با هم و به یک نسبت تغییر می‌کنند. اگر یکی دو برابر شود، دیگری هم دو برابر میشود و نسبت آن‌ها همیشه ثابت می‌ماند. قیمت و وزن یک کالا، مثال کلاسیک است: اگر ۳ کیلو برنج ۴۵۰ هزار تومان باشد، ۵ کیلو چقدر است؟ تناسب ۳ به ۴۵۰ مثل ۵ به x را می‌نویسیم و x برابر ۴۵۰ ضرب در ۵ تقسیم بر ۳، یعنی ۷۵۰ هزار تومان است. این همان نمونهٔ پیش‌فرض ابزار است.
روش دیگر حل همین مسئله، پیدا کردن مقدار واحد است: یک کیلو، ۴۵۰ تقسیم بر ۳، یعنی ۱۵۰ هزار تومان است و ۵ کیلو، ۵ ضرب در ۱۵۰، یعنی ۷۵۰ هزار. هر دو روش به یک جواب می‌رسند. روش مقدار واحد برای فهم ساده‌تر است و روش تناسب، برای عددهایی که به راحتی تقسیم نمی‌شوند، سریع‌تر. در ابزار، فقط سه عدد را بنویسید؛ ترتیب آن‌ها مهم است: a و c از یک جنس‌اند، مثل وزن، و b و x از جنس دیگر، مثل قیمت.
طرفین وسطین؛ قاعدهٔ حل تناسب
در کتاب‌های درسی، تناسب مستقیم با قاعدهٔ طرفین وسطین حل میشود. در تناسب a به b مثل c به d، دو عدد بیرونی، a و d، را طرفین و دو عدد میانی، b و c، را وسطین می‌گویند. حاصلضرب طرفین با حاصلضرب وسطین برابر است. در نمونهٔ ما، ۳ ضرب در x برابر ۴۵۰ ضرب در ۵ است؛ پس ۳x برابر ۲۲۵۰ و x برابر ۷۵۰. این قاعده از اینجا می‌آید که اگر دو کسر برابر باشند، با ضرب دو طرف در حاصلضرب مخرج‌ها، مخرج‌ها حذف میشوند.
در بسیاری از منابع، به این روش قاعدهٔ سه‌تایی هم می‌گویند؛ چون از سه عدد معلوم، عدد چهارم را پیدا می‌کند. این روش قرن‌ها پایهٔ حساب تجاری بوده و بازرگانان و حسابداران آن را برای تبدیل قیمت‌ها، وزن‌ها و پول‌ها به کار می‌بردند.
تناسب معکوس؛ یکی بالا، دیگری پایین
در تناسب معکوس، با زیاد شدن یک مقدار، مقدار دیگر به همان نسبت کم میشود و حاصلضرب آن‌ها ثابت می‌ماند. مثال کلاسیک، تعداد کارگر و زمان انجام کار است: اگر ۳ کارگر کاری را در ۱۲ روز انجام دهند، ۴ کارگر همان کار را در چند روز انجام می‌دهند؟ حاصلضرب کارگر و روز، یعنی ۳۶ کارگر‌روز، ثابت است؛ پس ۴ کارگر، ۳۶ تقسیم بر ۴، یعنی ۹ روز لازم دارند. در ابزار، حالت معکوس را انتخاب کنید و ۳ و ۱۲ و ۴ را بنویسید.
با عددهای پیش‌فرض ابزار در حالت معکوس، یعنی ۳ ضرب در ۴۵۰ برابر ۵ ضرب در x، جواب ۲۷۰ است. میشود آن را این‌طور خواند: اگر با سرعت ۳ واحد، ۴۵۰ دقیقه طول بکشد، با سرعت ۵ واحد ۲۷۰ دقیقه طول می‌کشد. سرعت و زمان برای پیمودن مسافتی ثابت، رایج‌ترین تناسب معکوس در درس فیزیک است.
تشخیص نوع تناسب؛ مهم‌ترین قدم
بیشتر اشتباه‌ها در مسئله‌های تناسب، از انتخاب نوع نادرست می‌آیند، نه از محاسبه. پرسش کلیدی ساده است: اگر یک مقدار دو برابر شود، دیگری چه میشود؟ اگر دو برابر کالا بخرید، دو برابر پول می‌دهید؛ مستقیم. اگر دو برابر کارگر بیاورید، کار در نصف زمان تمام میشود؛ معکوس. اگر با دو برابر سرعت بروید، در نصف زمان می‌رسید؛ معکوس. اگر دو برابر مسافت بروید با همان سرعت، دو برابر زمان لازم است؛ مستقیم.
گاهی دو مقدار هیچ‌کدام از این دو رابطه را ندارند. سن و قد کودک با هم زیاد میشوند، اما دو برابر شدن سن، قد را دو برابر نمی‌کند. در این حالت‌ها، تناسب جواب درست نمی‌دهد. پیش از به کار بردن ابزار، از خودتان بپرسید که آیا رابطهٔ دو مقدار واقعا تناسبی است.
| موقعیت | نوع | چه چیزی ثابت است |
|---|---|---|
| وزن و قیمت کالا | مستقیم | قیمت هر کیلو |
| مسافت و زمان با سرعت ثابت | مستقیم | سرعت |
| مسافت و مصرف سوخت | مستقیم | مصرف به ازای هر کیلومتر |
| تعداد کارگر و زمان کار | معکوس | کل کار |
| سرعت و زمان برای مسافت ثابت | معکوس | مسافت |
| تعداد نفر و سهم هر نفر از مبلغ ثابت | معکوس | کل مبلغ |
دستور پخت؛ بزرگ و کوچک کردن
دستورهای پخت برای تعداد مشخصی نفر نوشته شده‌اند و بزرگ یا کوچک کردن آن‌ها، تناسب مستقیم است. اگر دستوری برای ۴ نفر، ۶۰۰ گرم گوشت می‌خواهد و شما برای ۷ نفر می‌پزید، تناسب ۴ به ۶۰۰ مثل ۷ به x را حل کنید: ۱۰۵۰ گرم. همین کار را برای همهٔ مواد انجام دهید. فقط به یاد داشته باشید که همهٔ چیزها با تناسب بزرگ نمی‌شوند؛ زمان پخت و مقدار نمک و ادویه را با احتیاط زیاد کنید، چون رابطهٔ آن‌ها با مقدار غذا همیشه مستقیم نیست.
نقشه و مقیاس
مقیاس نقشه، یک نسبت است. نقشه‌ای با مقیاس یک به ۵۰ هزار، یعنی هر سانتی‌متر روی نقشه، ۵۰ هزار سانتی‌متر یا ۵۰۰ متر روی زمین است. اگر فاصلهٔ دو روستا روی این نقشه ۷٫۵ سانتی‌متر باشد، فاصلهٔ واقعی با تناسب ۱ به ۵۰۰ مثل ۷٫۵ به x، برابر ۳۷۵۰ متر یا ۳٫۷۵ کیلومتر است. در نقشه‌کشی ساختمان، مقیاس‌های یک به ۱۰۰ و یک به ۵۰ رایج‌اند و همین روش، ابعاد واقعی اتاق‌ها را از روی نقشه می‌دهد. برای تبدیل یکاهای طول، تبدیل واحد طول را ببینید.
تقسیم یک مقدار به نسبت معین
مسئلهٔ رایج دیگر، تقسیم یک مقدار میان چند نفر به نسبت معین است؛ مثلا تقسیم سود میان دو شریک که به نسبت ۲ به ۳ سرمایه گذاشته‌اند. نسبتها را جمع کنید تا تعداد کل سهمها به دست آید؛ اینجا ۵ سهم. سود را بر ۵ تقسیم کنید تا ارزش هر سهم معلوم شود و آن را در سهم هر نفر ضرب کنید. ۱۰ میلیون تومان سود، به نسبت ۲ به ۳، به ۴ میلیون و ۶ میلیون تقسیم میشود. این روش برای سه نفر یا بیشتر هم کار می‌کند؛ نسبت ۱ به ۲ به ۳ یعنی ۶ سهم.
تناسب در شیمی و دارو
در آزمایشگاه شیمی، ساختن محلول با غلظت معین، تناسب مستقیم است: اگر ۲۰ گرم ماده در ۵۰۰ میلی‌لیتر محلول باشد، برای ۱۲۰۰ میلی‌لیتر با همان غلظت، ۴۸ گرم لازم است. در داروسازی، دوز بسیاری از داروها بر اساس وزن بدن حساب میشود و این هم تناسب مستقیم است. اما محاسبهٔ دوز دارو برای خود یا دیگران را هرگز فقط بر پایهٔ تناسب انجام ندهید؛ دوز دارو را همیشه از پزشک یا داروساز بپرسید، چون عامل‌های دیگری هم در آن اثر دارند.
درصد، نوعی تناسب
درصد، تناسبی است که یک طرف آن ۱۰۰ است. پرسش ۳۰ چند درصدِ ۱۲۰ است، همان تناسب ۱۲۰ به ۱۰۰ مثل ۳۰ به x است که جوابش ۲۵ است. پس هر مسئلهٔ درصدی را میشود با این ابزار هم حل کرد. البته برای حالت‌های پرکاربرد درصد، محاسبهٔ درصد سریع‌تر است.
مقایسهٔ قیمت در فروشگاه
یکی از سودمندترین کاربردهای تناسب در زندگی روزمره، مقایسهٔ قیمت بسته‌های مختلف یک کالاست. فرض کنید روغن در دو بسته فروخته میشود: بطری ۸۱۰ گرمی به قیمت ۲۸۵ هزار تومان و بطری ۱۸۰۰ گرمی به قیمت ۶۱۰ هزار تومان. کدام ارزان‌تر است؟ با تناسب مستقیم، قیمت هر دو را برای یک وزن یکسان حساب کنید. برای بطری کوچک، ۸۱۰ به ۲۸۵ مثل ۱۰۰۰ به x، یعنی حدود ۳۵۱٫۹ هزار تومان برای هر کیلو. برای بطری بزرگ، ۱۸۰۰ به ۶۱۰ مثل ۱۰۰۰ به x، یعنی حدود ۳۳۸٫۹ هزار تومان. پس بطری بزرگ، هر کیلو حدود ۱۳ هزار تومان ارزان‌تر است.
همیشه بستهٔ بزرگ‌تر ارزان‌تر نیست؛ گاهی تخفیف روی بستهٔ کوچک، آن را به صرفه‌تر می‌کند. عددهای این نمونه فرضی‌اند، اما روش آن برای هر خریدی کار می‌کند. چند ثانیه حساب با این ابزار، در خریدهای ماهانه، مبلغ قابل توجهی صرفه‌جویی می‌کند.
سرعت، زمان و مسافت
در درس فیزیک و در برنامه‌ریزی سفر، سه کمیت سرعت و زمان و مسافت با هم رابطه دارند و بسته به اینکه کدام ثابت باشد، تناسب مستقیم یا معکوس است. اگر سرعت ثابت باشد، مسافت و زمان مستقیم‌اند: خودرویی که ۱۲۰ کیلومتر را در ۱٫۵ ساعت می‌رود، با همان سرعت ۲۰۰ کیلومتر را در ۲٫۵ ساعت می‌رود. اگر مسافت ثابت باشد، سرعت و زمان معکوس‌اند: مسیری که با سرعت ۸۰ کیلومتر بر ساعت ۳ ساعت طول می‌کشد، با سرعت ۱۰۰ کیلومتر بر ساعت، ۲٫۴ ساعت یا ۲ ساعت و ۲۴ دقیقه طول می‌کشد. برای تبدیل یکاهای سرعت، تبدیل واحد سرعت را ببینید.
تناسب و عکس و صفحه‌نمایش
نسبت ابعاد عکس‌ها و صفحه‌ها هم تناسب است. صفحهٔ ۱۶ به ۹، یعنی به ازای هر ۱۶ واحد عرض، ۹ واحد ارتفاع. اگر عرض تصویری ۱۹۲۰ پیکسل باشد، ارتفاع آن با تناسب ۱۶ به ۹ مثل ۱۹۲۰ به x، برابر ۱۰۸۰ پیکسل است. برای تغییر اندازهٔ عکس بدون کشیده شدن، همین تناسب را نگه دارید: عکسی ۴۰۰۰ در ۳۰۰۰ پیکسل، با عرض تازهٔ ۱۲۰۰، ارتفاع ۹۰۰ پیکسل خواهد داشت. تغییر اندازهٔ عکس این نسبت را خودکار حفظ می‌کند.
تناسب در ساختمان و مصالح
در کارهای ساختمانی، نسبت اختلاط مصالح، مثل سیمان و ماسه و آب، تناسب مستقیم است. اگر برای هر کیسهٔ سیمان، مقدار معینی ماسه لازم باشد، برای سه کیسه سه برابر آن لازم است. اما تعداد کارگر و زمان کار، معکوس است و تا حدی: دو برابر کردن کارگرها، همیشه زمان را نصف نمی‌کند، چون فضای کار و کارهایی که باید به ترتیب انجام شوند، محدودیت می‌سازند. تناسب معکوس در اینجا تخمینی خوش‌بینانه است.
تناسب‌های مرکب؛ بیش از دو کمیت
گاهی بیش از دو کمیت با هم تغییر می‌کنند. مسئلهٔ معروف کتاب‌های درسی: اگر ۴ کارگر در ۶ روز، ۲ دیوار بسازند، ۶ کارگر در چند روز ۵ دیوار می‌سازند؟ اینجا تعداد دیوار با روز مستقیم و تعداد کارگر با روز معکوس است. این مسئله را در دو قدم با ابزار حل کنید. اول، ثابت نگه داشتن کارگرها: ۴ کارگر برای ۵ دیوار، با تناسب مستقیم ۲ به ۶ مثل ۵ به x، ۱۵ روز لازم دارند. دوم، تغییر کارگرها: با تناسب معکوس ۴ ضرب در ۱۵ برابر ۶ ضرب در x، جواب ۱۰ روز است. شکستن مسئله به قدم‌هایی که در هر کدام فقط یک کمیت تغییر می‌کند، کلید حل تناسب‌های مرکب است. پس از حل، جواب را با عقل سلیم بسنجید: کار بیشتر با کارگر بیشتر، باید زمانی میان دو حالت ساده‌تر بدهد و ۱۰ روز هم همین‌طور است.
اشتباه‌های رایج
اشتباه اول، انتخاب تناسب مستقیم برای رابطه‌ای معکوس، یا برعکس. اشتباه دوم، جابه‌جا نوشتن عددها؛ در تناسب مستقیم، a و c باید از یک جنس باشند و b و x از جنس دیگر. اشتباه سوم، به کار بردن تناسب برای رابطه‌هایی که تناسبی نیستند. اشتباه چهارم، یکسان نبودن یکاها؛ اگر یک وزن به کیلو و دیگری به گرم است، اول یکاها را یکی کنید.
ابزارهای مرتبط
برای کار با نسبتها به شکل کسر، ماشین حساب کسر و برای نسبت خاصی که در هنر و طراحی به کار می‌رود، محاسبهٔ نسبت طلایی را ببینید. بقیهٔ ابزارها در ابزارهای ریاضی آمده‌اند.
آخرین بازبینی محتوا: · تیم تحریریه ابزار جیبی