محاسبه درصد خطا

راهنمای استفاده از محاسبه درصد خطا

1. مقدار تجربی (اندازه‌گیری‌شده) را وارد کنید.
2. مقدار واقعی یا نظری را بنویسید.
3. درصد خطا، خطای مطلق و نسبی نمایش داده می‌شود.

محاسبه درصد خطا؛ فرمول و عدد پایه

درصد خطا، اندازهٔ فاصلهٔ نتیجهٔ آزمایش از مقدار درست را به شکل درصدی از همان مقدار درست نشان می‌دهد. فرمول آن، قدر مطلق تفاوت دو عدد تقسیم بر قدر مطلق مقدار واقعی، ضرب در ۱۰۰ است. عدد پایه، یعنی مخرج کسر، همیشه مقدار واقعی است، نه مقدار تجربی. دلیلش این است که می‌خواهیم خطا را نسبت به چیزی ثابت و پذیرفته‌شده بسنجیم؛ اگر مقدار تجربی را در مخرج بگذاریم، هر آزمایشی با عدد پایهٔ خودش سنجیده می‌شود و مقایسهٔ آزمایش‌ها ممکن نیست.

قدر مطلق در صورت کسر، باعث می‌شود درصد خطا همیشه مثبت باشد؛ چه مقدار تجربی بیشتر از مقدار واقعی باشد و چه کمتر. در نمونهٔ گرانش، چه ۹٫۶ اندازه گرفته باشید و چه ۱۰٫۰، درصد خطا همان ۲٫۰۴ است. اما جهت خطا در تحلیل مهم است و باید جداگانه در گزارش نوشته شود، چون نشانه‌ای از نوع خطاست؛ خطایی که همیشه در یک جهت است، معمولا سیستماتیک است.

خطای مطلق و خطای نسبی

خطای مطلق، خود تفاوت دو عدد است و یکای اندازه‌گیری را دارد. در آزمایش گرانش، خطای مطلق ۰٫۲ متر بر مجذور ثانیه است. خطای نسبی، همین عدد تقسیم بر مقدار واقعی است و بی‌یکاست؛ ۰٫۲ تقسیم بر ۹٫۸، حدود ۰٫۰۲۰۴. درصد خطا هم همان خطای نسبی ضرب در ۱۰۰ است. این سه عدد، سه نگاه به یک چیزند و ابزار هر سه را نشان می‌دهد تا هر کدام را که گزارش کار شما خواسته، داشته باشید.

خطای مطلق به تنهایی، دربارهٔ کیفیت آزمایش چیز زیادی نمی‌گوید. خطای یک سانتی‌متری در اندازه‌گیری طول یک میز، کوچک است؛ اما همان یک سانتی‌متر در اندازه‌گیری قطر یک سکه، خطای بزرگی است. خطای نسبی و درصد خطا، این دو را قابل مقایسه می‌کنند: یک سانتی‌متر از ۱۵۰ سانتی‌متر حدود ۰٫۷ درصد است و یک سانتی‌متر از ۲٫۵ سانتی‌متر، ۴۰ درصد.

نمونه‌های آزمایشگاه؛ آونگ، چگالی، گرانش

در آزمایش آونگ ساده، دورهٔ تناوب از فرمول دو پی ضرب در جذر طول تقسیم بر شتاب گرانش به دست می‌آید. برای آونگی به طول یک متر و شتاب ۹٫۸، دورهٔ نظری حدود ۲٫۰۰۷ ثانیه است. اگر در آزمایش ۲٫۰۳ ثانیه اندازه بگیرید، درصد خطا حدود ۱٫۱۴ درصد است. برای اندازه‌گیری دقیق‌تر دوره، زمان ده یا بیست نوسان را با کرنومتر آنلاین بگیرید و بر تعداد نوسان تقسیم کنید؛ این کار خطای زمان واکنش دست را به همان نسبت کوچک می‌کند.

در آزمایش چگالی، اگر چگالی آلومینیوم را ۲٫۶۲ گرم بر سانتی‌متر مکعب به دست آورده باشید و مقدار مرجع ۲٫۷۰ باشد، درصد خطا حدود ۲٫۹۶ درصد است. در این آزمایش، منبع‌های خطا معمولا حباب هوای چسبیده به جسم در استوانهٔ مدرج، خواندن نادرست سطح آب و دقت ترازو هستند. نوشتن این منبع‌ها در کنار عدد درصد خطا، گزارش کار را کامل می‌کند.

دام دما؛ چرا یکا مهم است؟

دو ردیف آخر جدول، یک نکتهٔ کمتر گفته‌شده را نشان می‌دهند. اگر نقطهٔ جوش آب را ۹۸٫۵ درجهٔ سلسیوس اندازه بگیرید، درصد خطا نسبت به ۱۰۰ درجه، ۱٫۵ درصد است. اما همین اندازه‌گیری در کلوین، ۳۷۱٫۶۵ در برابر ۳۷۳٫۱۵ است و درصد خطا حدود ۰٫۴ درصد می‌شود. اندازه‌گیری یکی است، اما درصد خطا نزدیک به چهار برابر فرق می‌کند. دلیلش این است که صفر سلسیوس قراردادی است، اما صفر کلوین صفر مطلق است. اگر اندازه‌گیری نقطهٔ ذوب یخ را با مقدار صفر سلسیوس مقایسه کنید، درصد خطا اصلا تعریف نمی‌شود.

پس برای دما، یا درصد خطا را با کلوین حساب کنید، یا فقط خطای مطلق را گزارش کنید، مثلا یک و نیم درجه. این نکته در بعضی گزارش‌های کار نادیده گرفته می‌شود و یکی از نشانه‌های گزارش دقیق، توجه به آن است. برای تبدیل دما میان سلسیوس و کلوین، تبدیل دما را باز کنید. همین منطق برای هر کمیتی که صفر قراردادی دارد، صادق است.

چقدر خطا قابل قبول است؟

پاسخ ثابتی برای این پرسش وجود ندارد، چون به ابزار اندازه‌گیری، روش آزمایش و هدف آن بستگی دارد. در آزمایش‌های آموزشی دبیرستان که با خط‌کش و کرنومتر دستی انجام می‌شوند، خطای چند درصدی طبیعی است و بسیاری از معلمان خطای کمتر از ۵ درصد را خوب می‌دانند. در آزمایشگاه‌های دانشگاهی با ابزار دقیق‌تر، انتظار خطای کمتر است. در صنعت و کنترل کیفیت، حد خطا معمولا در استاندارد یا سفارش تعیین می‌شود.

مهم‌تر از اندازهٔ خطا، توضیح آن است. گزارش کاری که ۸ درصد خطا دارد و منبع‌های آن را درست شناسایی کرده، اغلب از گزارشی با ۱ درصد خطا و بدون تحلیل، ارزشمندتر است. اگر درصد خطای شما بسیار بزرگ است، مثلا بیش از ۲۰ درصد، احتمالا اشتباهی در محاسبه یا تبدیل یکاها رخ داده؛ پیش از نوشتن گزارش، یکاها را دوباره بررسی کنید. اشتباه رایج، وارد کردن طول به سانتی‌متر در فرمولی است که متر می‌خواهد.

خطای سیستماتیک و خطای تصادفی

خطاها دو نوع اصلی دارند. خطای سیستماتیک، همیشه در یک جهت است؛ مثلا خط‌کشی که لبه‌اش ساییده شده و از صفر شروع نمی‌شود، یا ترازویی که پیش از اندازه‌گیری صفر نشده. تکرار آزمایش با همان ابزار، این خطا را کم نمی‌کند. خطای تصادفی، گاهی بیشتر و گاهی کمتر است؛ مثل لرزش دست هنگام زدن کرنومتر یا نوسان کوچک در خواندن یک عدد. تکرار آزمایش و میانگین گرفتن، اثر خطای تصادفی را کم می‌کند.

اگر چند بار آزمایش کرده‌اید و همهٔ نتیجه‌ها کمتر از مقدار واقعی‌اند، احتمالا خطای سیستماتیک دارید. اگر نتیجه‌ها دو طرف مقدار واقعی پخش شده‌اند، خطا بیشتر تصادفی است. برای میانگین گرفتن از چند تکرار، محاسبهٔ میانگین میانگین و انحراف معیار را هم نشان می‌دهد که معیاری برای پراکندگی نتیجه‌هاست.

دقت و صحت؛ دو مفهوم جدا

در فارسی، دقت و صحت گاهی به جای هم به کار می‌روند، اما در علوم آزمایشگاهی دو مفهوم جدا هستند. صحت یعنی میانگین اندازه‌گیری‌ها چقدر به مقدار واقعی نزدیک است و درصد خطا، معیار صحت است. دقت یعنی اندازه‌گیری‌های تکراری چقدر به هم نزدیک‌اند، صرف نظر از اینکه به مقدار واقعی نزدیک باشند یا نه. تیراندازی که همهٔ تیرهایش در یک نقطه، اما دور از مرکز هدف خورده، دقیق است اما صحیح نیست.

این تمایز در گزارش کار مهم است. اگر نتیجه‌های شما دقیق اما ناصحیح‌اند، دنبال خطای سیستماتیک بگردید. اگر صحیح اما نادقیق‌اند، یعنی میانگین به مقدار واقعی نزدیک است اما تک‌تک نتیجه‌ها پراکنده‌اند، روش اندازه‌گیری را بهبود دهید تا خطای تصادفی کمتر شود.

رقم‌های معنادار و گرد کردن

ابزار درصد خطا را تا چهار رقم اعشار نشان می‌دهد، اما در گزارش کار، معمولا یک یا دو رقم معنادار کافی است. اگر مقدار تجربی را با دو رقم اعشار اندازه گرفته‌اید، گزارش درصد خطا با چهار رقم اعشار، دقتی را ادعا می‌کند که اندازه‌گیری ندارد. در نمونهٔ گرانش، نوشتن حدود ۲ درصد یا ۲٫۰ درصد مناسب است و ۲٫۰۴۰۸ درصد بیش از حد دقیق به نظر می‌رسد. قاعدهٔ کلی این است که درصد خطا را با همان دقتی بنویسید که داده‌های شما اجازه می‌دهند.

درصد خطا یا اختلاف درصد؟

اگر مقدار واقعی ندارید و دو نتیجهٔ آزمایش را با هم مقایسه می‌کنید، مثلا نتیجهٔ دو گروه یا دو روش اندازه‌گیری، درصد خطا مناسب نیست؛ چون هیچ‌کدام از دو عدد، مرجع نیست. در این حالت، اختلاف درصد را به کار ببرید که تفاوت را بر میانگین دو عدد تقسیم می‌کند. محاسبهٔ درصد تغییرات توضیح بیشتری دربارهٔ این تفاوت دارد. درصد خطا فقط وقتی معنا دارد که یکی از دو عدد، مقدار پذیرفته‌شده یا نظری باشد.

نوشتن درصد خطا در گزارش کار

گزارش کار خوب، فقط عدد درصد خطا را نمی‌نویسد. ابتدا مقدار تجربی را از میانگین چند تکرار بنویسید، نه از یک بار اندازه‌گیری. بعد مقدار واقعی را با منبع آن بیاورید؛ مثلا شتاب گرانش ۹٫۸ متر بر مجذور ثانیه که در کتاب درسی آمده است. سپس درصد خطا را با دقت مناسب و جهت آن را بنویسید. در پایان، منبع‌های احتمالی خطا و پیشنهادهایی برای کم کردن آن‌ها را شرح دهید.

یک نکتهٔ دیگر: شتاب گرانش در همه جای زمین یکسان نیست و با عرض جغرافیایی و ارتفاع کمی تغییر می‌کند. عدد ۹٫۸ تقریبی است و در بسیاری از کتاب‌ها ۹٫۸۱ هم نوشته می‌شود. اگر درصد خطای شما بسیار کوچک است، مثلا کمتر از نیم درصد، انتخاب میان این دو عدد مرجع، روی نتیجه اثر محسوسی دارد؛ پس منبع عدد مرجع را حتما بنویسید.

درصد خطا در صنعت و کنترل کیفیت

درصد خطا فقط برای آزمایشگاه مدرسه نیست. در کنترل کیفیت، وزن واقعی یک بستهٔ ۵۰۰ گرمی با وزن روی برچسب مقایسه می‌شود؛ بسته‌ای که ۴۹۰ گرم است، ۲ درصد کمبود دارد. در کالیبراسیون ابزار، عدد نشان‌داده‌شده با عدد یک وزنه یا مرجع استاندارد مقایسه می‌شود. در هر دو حالت، همین فرمول به کار می‌رود و حد مجاز خطا را استاندارد یا قرارداد تعیین می‌کند. برای تبدیل یکاها پیش از محاسبه، تبدیل واحد کمک می‌کند.

خطای ابزار اندازه‌گیری

هر ابزار اندازه‌گیری، کوچک‌ترین مقداری دارد که می‌تواند نشان دهد و همین، حدی برای دقت نتیجه می‌گذارد. خط‌کش معمولی کوچک‌ترین درجه‌اش یک میلی‌متر است و معمولا خطای خواندن آن را نصف همین درجه، یعنی نیم میلی‌متر، در نظر می‌گیرند. کرنومتر دستی صدم ثانیه نشان می‌دهد، اما خطای واقعی آن به خاطر زمان واکنش دست، چند دهم ثانیه است. ترازوی آشپزخانه یک گرم و ترازوی آزمایشگاهی یک دهم یا یک صدم گرم دقت دارد. پیش از اینکه درصد خطای آزمایش را با معیار خوب یا بد بسنجید، بپرسید ابزار شما اصلا اجازهٔ چه دقتی را می‌دهد.

یک روش ساده برای تخمین، این است که خطای ابزار را بر خود اندازه‌گیری تقسیم کنید. اگر با خط‌کش میلی‌متری، طولی ۲۰ میلی‌متری را اندازه می‌گیرید، خطای نیم میلی‌متر به تنهایی ۲٫۵ درصد است؛ پس انتظار درصد خطای کمتر از این، از آزمایش منطقی نیست. اگر همین خط‌کش را برای طول ۵۰۰ میلی‌متری به کار ببرید، خطای ابزار به ۰٫۱ درصد می‌رسد. برای همین، در آزمایش‌ها تا جای ممکن کمیت‌های بزرگ‌تر را اندازه می‌گیرند؛ مثل زمان چند نوسان به جای یک نوسان.

انتشار خطا در فرمول‌ها

وقتی نتیجهٔ آزمایش از یک فرمول به دست می‌آید، خطای کمیت‌های اندازه‌گیری‌شده در نتیجه هم اثر می‌گذارد. قاعدهٔ ساده و تقریبی این است: در ضرب و تقسیم، درصد خطاها با هم جمع می‌شوند و در توان، درصد خطا در توان ضرب می‌شود. در آزمایش آونگ، شتاب گرانش از تقسیم طول بر مجذور دوره به دست می‌آید؛ پس یک درصد خطا در اندازه‌گیری دوره، حدود دو درصد خطا در گرانش ایجاد می‌کند. این قاعده توضیح می‌دهد چرا اندازه‌گیری دقیق دوره، از اندازه‌گیری دقیق طول مهم‌تر است. این روش تقریبی است و برای خطاهای کوچک کار می‌کند؛ در درس‌های دانشگاهی، روش‌های دقیق‌تری هم آموزش داده می‌شود.

اشتباه‌های رایج در محاسبهٔ درصد خطا

اشتباه اول، گذاشتن مقدار تجربی در مخرج است؛ برای نمونهٔ گرانش، این کار ۲٫۰۸ درصد به جای ۲٫۰۴ درصد می‌دهد و در خطاهای بزرگ‌تر، تفاوت بیشتر می‌شود. اشتباه دوم، حساب کردن درصد خطا از یک بار اندازه‌گیری به جای میانگین چند تکرار. اشتباه سوم، ناهمخوانی یکاها؛ مثلا مقدار تجربی به سانتی‌متر و مقدار واقعی به متر. اشتباه چهارم، گزارش درصد خطا برای دمای سلسیوس بدون توجه به صفر قراردادی. و اشتباه پنجم، نوشتن عدد خطا بدون جهت و بدون تحلیل منبع آن؛ عددی که توضیح ندارد، به خواننده نمی‌گوید آزمایش را چطور می‌شود بهتر کرد. پیش از تحویل گزارش، یک بار هم عددها را در همین ابزار وارد کنید تا اشتباه احتمالی حساب دستی را پیش از معلم یا استاد خودتان پیدا کنید.

ابزارهای مرتبط

برای محاسبه‌هایی مثل جذر و توان در فرمول‌های فیزیک، ماشین حساب علمی و برای چهار حالت پرکاربرد درصد، محاسبهٔ درصد را ببینید. بقیهٔ ماشین‌حساب‌ها در ابزارهای ریاضی آمده‌اند.