فهرست مطالب
محاسبه مساحت دایره با این ابزار، از روی هر کدام از چهار اندازهٔ دایره انجام میشود. انتخاب کنید کدام را می‌دانید: شعاع، قطر، محیط یا مساحت. با نوشتن عدد، سه اندازهٔ دیگر بی‌درنگ نمایش داده میشوند. نمونهٔ پیش‌فرض، دایرهای با شعاع ۵ است که قطرش ۱۰، محیطش حدود ۳۱٫۴۲ و مساحتش حدود ۷۸٫۵۴ است. اگر قطر را بدهید، ابزار آن را نصف می‌کند تا شعاع به دست آید؛ اگر محیط را بدهید، آن را بر دو پی تقسیم می‌کند؛ و اگر مساحت را بدهید، از مساحت تقسیم بر پی جذر می‌گیرد. یکای نتیجه‌ها همان یکای ورودی است و برای مساحت، مجذور آن. نتیجه‌ها با مقدار دقیق عدد پی و تا ده رقم معنادار حساب میشوند.
راهنمای استفاده از محاسبه دایره
- مشخص کنید کدام اندازه را می‌دانید.
- مقدار آن را وارد کنید.
- شعاع، قطر، محیط و مساحت نمایش داده میشود.
محاسبه مساحت دایره؛ پی ضرب در مجذور شعاع
دایره، مجموعهٔ همهٔ نقطه‌هایی است که از یک نقطهٔ ثابت، یعنی مرکز، فاصلهٔ یکسانی دارند. این فاصله، شعاع است. قطر، پاره‌خطی است که از مرکز می‌گذرد و دو سر دایره را به هم وصل می‌کند؛ پس دو برابر شعاع است. محیط، طول خمیدهٔ دور دایره است و مساحت، سطحی که درون آن قرار دارد. مساحت دایره، عدد پی ضرب در شعاع به توان دو است. برای شعاع ۵، پی ضرب در ۲۵، یعنی حدود ۷۸٫۵۴.
چرا این فرمول؟ یک توضیح ساده: دایره را مثل یک پیتزا به تکه‌های باریک بسیار زیاد ببرید و تکه‌ها را یکی رو به بالا و یکی رو به پایین کنار هم بچینید. هرچه تکه‌ها باریک‌تر باشند، شکل به مستطیلی نزدیک‌تر میشود که ارتفاعش شعاع و طولش نصف محیط، یعنی پی ضرب در شعاع است. مساحت این مستطیل، پی ضرب در شعاع ضرب در شعاع است. این استدلال، ایدهٔ اصلی حسابان را هم در خود دارد.
محیط دایره و عدد پی
محیط دایره، پی ضرب در قطر، یا دو پی ضرب در شعاع است. عدد پی، تعریفش همین است: نسبت محیط به قطر، که برای همهٔ دایرهها یکسان است. اگر محیط یک بشقاب را با نخ اندازه بگیرید و بر قطرش تقسیم کنید، به عددی حدود ۳٫۱۴ می‌رسید؛ هر بشقاب، هر سکه و هر چرخی که امتحان کنید. پی عددی گنگ است و رقم‌های اعشارش پایان ندارند؛ ابزار مقدار دقیق آن را تا حدود شانزده رقم به کار می‌برد.
برای حساب ذهنی، ۳٫۱۴ یا ۲۲ بر ۷ کافی است. ۲۲ بر ۷، حدود ۳٫۱۴۲۸۶ است و خطای آن حدود ۰٫۰۴ درصد است؛ برای بیشتر کارهای روزمره، بیش از کافی. کسر ۳۵۵ بر ۱۱۳ هم تقریب شگفت‌انگیزی است که تا شش رقم اعشار با پی برابر است.
جمشید کاشانی و عدد پی
حساب کردن رقم‌های بیشتر پی، قرن‌ها یکی از چالش‌های ریاضیدانان بود. ارشمیدس با چندضلعی‌هایی که درون و بیرون دایره می‌کشید، پی را میان ۳ و ده‌هفتادویکم و ۳ و یک‌هفتم محدود کرد. غیاث‌الدین جمشید کاشانی، ریاضیدان و منجم ایرانی که در رصدخانهٔ سمرقند کار می‌کرد، در سال ۱۴۲۴ میلادی در رسالهٔ محیطیه، دو پی را تا ۱۶ رقم اعشار درست حساب کرد؛ رکوردی که نزدیک به ۱۷۰ سال شکسته نشد. او برای این کار، محیط چندضلعی‌ای با بیش از ۸۰۰ میلیون ضلع را حساب کرده بود.
امروز رایانه‌ها پی را تا ده‌ها تریلیون رقم حساب کرده‌اند، اما برای کاربردهای عملی، چند ده رقم بیش از کافی است. با حدود ۴۰ رقم پی، میشود محیط جهان قابل مشاهده را با دقتی در حد قطر یک اتم حساب کرد.
از محیط به شعاع؛ تنهٔ درخت و ستون
گاهی قطر یک جسم گرد را نمی‌شود مستقیم اندازه گرفت، اما محیطش را میشود؛ مثل تنهٔ درخت، ستون، لوله یا دور کمر. با متر نواری، محیط را اندازه بگیرید و در ابزار، حالت محیط را انتخاب کنید. درختی با محیط تنهٔ ۱۵۰ سانتیمتر، قطری حدود ۴۷٫۷ سانتیمتر دارد. جنگلبان‌ها برای تخمین سن و حجم چوب درختان، همین قطر را در ارتفاع سینه اندازه می‌گیرند. این روش برای اندازه‌گیری لوله‌ها، مخزن‌ها و ستون‌های ساختمان هم کار می‌کند.
از مساحت به شعاع؛ باغچه و حوض گرد
اگر می‌خواهید باغچه یا حوضی گرد با مساحت معین بسازید، حالت مساحت را انتخاب کنید. برای باغچه‌ای با مساحت ۵۰ متر مربع، شعاع حدود ۳٫۹۹ متر است. با یک میخ در مرکز و طنابی به این طول، دایره را روی زمین بکشید. محیط هم حدود ۲۵ متر است که طول لبه‌چینی دور باغچه را می‌دهد. همین روش برای فرش گرد، رومیزی گرد و سقف گنبدی کوچک هم کار می‌کند.
پیتزای بزرگ یا دو پیتزای کوچک؟
چون مساحت با مجذور شعاع رشد می‌کند، دایره‌های کمی بزرگ‌تر، مساحت بسیار بیشتری دارند. پیتزای ۳۰ سانتیمتری، شعاع ۱۵ و مساحت حدود ۷۰۷ سانتیمتر مربع دارد. دو پیتزای ۲۰ سانتیمتری، هر کدام حدود ۳۱۴ سانتیمتر مربع، روی هم حدود ۶۲۸. پس یک پیتزای بزرگ، با وجود اینکه قطرش از مجموع قطر دو پیتزای کوچک کمتر است، حدود ۱۲ درصد بیشتر غذا دارد. پیش از سفارش، مساحت را با قیمت مقایسه کنید؛ نه قطر را.
همین قاعده دربارهٔ هر چیز گردی صادق است. لوله‌ای با قطر دو برابر، چهار برابر سطح مقطع دارد و در فشار یکسان، آب بسیار بیشتری از آن می‌گذرد. کیکی با قطر ۲۴ سانتیمتر، حدود ۱٫۷۸ برابر کیکی با قطر ۱۸ سانتیمتر است و اگر دستور پخت برای قالب ۱۸ نوشته شده، مواد را باید حدود ۱٫۷۸ برابر کنید، نه ۱٫۳۳ برابر.
میز گرد و جای نشستن
برای اینکه بدانید دور یک میز گرد چند نفر جا میشوند، محیط را بر فضای لازم برای هر نفر تقسیم کنید. معمولا ۵۵ تا ۶۵ سانتیمتر برای هر نفر توصیه میشود. میزی با قطر ۱۲۰ سانتیمتر، محیطی حدود ۳۷۷ سانتیمتر دارد؛ با ۶۰ سانتیمتر برای هر نفر، حدود ۶ نفر. میزی با قطر ۹۰ سانتیمتر، محیطی حدود ۲۸۳ سانتیمتر دارد و برای ۴ نفر مناسب است. برای میز ۸ نفره، قطری حدود ۱۵۰ سانتیمتر لازم است.
| قطر میز | محیط | تعداد نفر با ۶۰ سانتیمتر |
|---|---|---|
| ۹۰ سانتیمتر | حدود ۲۸۳ سانتیمتر | ۴ |
| ۱۱۰ سانتیمتر | حدود ۳۴۶ سانتیمتر | ۵ |
| ۱۲۰ سانتیمتر | حدود ۳۷۷ سانتیمتر | ۶ |
| ۱۵۰ سانتیمتر | حدود ۴۷۱ سانتیمتر | ۷ تا ۸ |
چرخ دوچرخه و مسافت
هر دور کامل چرخ، به اندازهٔ محیط آن جلو می‌رود. چرخ دوچرخهٔ ۲۶ اینچی، قطری حدود ۶۶ سانتیمتر و محیطی حدود ۲٫۰۷ متر دارد؛ پس برای هر کیلومتر، حدود ۴۸۲ دور می‌چرخد. کیلومترشمارهای دوچرخه با همین عدد کار می‌کنند و برای دقت، باید محیط واقعی چرخ با لاستیک را به آن‌ها داد. یک روش دقیق: چرخ را روی زمین یک دور کامل بچرخانید و مسافت را اندازه بگیرید؛ آن عدد، محیط واقعی است. اندازهٔ اینچی چرخ را با تبدیل اینچ به سانتیمتر به سانتیمتر برگردانید.
طنابی دور زمین؛ معمایی شگفت‌انگیز
فرض کنید طنابی را محکم دور استوای زمین بسته‌اید؛ حدود ۴۰ هزار کیلومتر. حالا یک متر به طناب اضافه می‌کنید و آن را طوری بالا می‌برید که همه جا فاصلهٔ یکسانی از زمین داشته باشد. این فاصله چقدر است؟ بیشتر مردم حدس می‌زنند بسیار کوچک، در حد کسری از میلی‌متر. اما پاسخ حدود ۱۶ سانتیمتر است؛ آن‌قدر که یک گربه از زیرش رد شود.
دلیلش این است که محیط، دو پی ضرب در شعاع است؛ پس اضافه شدن یک متر به محیط، شعاع را یک تقسیم بر دو پی، یعنی حدود ۰٫۱۶ متر، زیاد می‌کند؛ صرف نظر از اینکه دایره چقدر بزرگ باشد. همین عدد برای طنابی دور یک توپ فوتبال هم درست است. این معما نشان می‌دهد که رابطهٔ محیط و شعاع، خطی است و به اندازهٔ دایره بستگی ندارد.
کمان و قطاع؛ بخشی از دایره
گاهی فقط بخشی از دایره را لازم دارید؛ مثلا یک تکه پیتزا یا قوس یک پنجره. قطاع، بخشی از دایره است که میان دو شعاع قرار دارد و کمان، بخشی از محیط که آن قطاع را می‌بندد. اگر زاویهٔ قطاع θ درجه باشد، طول کمان، θ تقسیم بر ۳۶۰، ضرب در محیط است و مساحت قطاع، θ تقسیم بر ۳۶۰، ضرب در مساحت. برای دایرهای با شعاع ۵ و قطاعی ۶۰ درجه‌ای، یعنی یک‌ششم دایره، طول کمان حدود ۵٫۲۴ و مساحت قطاع حدود ۱۳٫۰۹ است. برای تبدیل درجه و رادیان، تبدیل زاویه را ببینید.
دایره، بهترین شکل با محیط ثابت
میان همهٔ شکل‌هایی با محیط یکسان، دایره بیشترین مساحت را دارد. با ۴۰ متر فنس، مربعی ۱۰ در ۱۰ با ۱۰۰ متر مربع می‌سازید؛ اما دایرهای با همان محیط، شعاعی حدود ۶٫۳۷ و مساحتی حدود ۱۲۷٫۳ متر مربع دارد؛ حدود ۲۷ درصد بیشتر. همین ویژگی دلیل گرد بودن قطره‌های آب، حباب‌ها و بسیاری از ساختارهای طبیعی است: با کمترین سطح بیرونی، بیشترین حجم را در خود جا می‌دهند. مخزن‌های استوانه‌ای هم به همین دلیل رایج‌اند. برای مقایسه با مربع، محاسبهٔ مربع را ببینید.
لوله، شیلنگ و سطح مقطع
در لوله‌کشی و آبیاری، سطح مقطع لوله، یعنی مساحت دایرهٔ داخلی آن، تعیین می‌کند چقدر آب از لوله می‌گذرد. لولهٔ یک اینچی، قطری حدود ۲٫۵۴ سانتیمتر و سطح مقطعی حدود ۵٫۰۷ سانتیمتر مربع دارد. لولهٔ نیم اینچی، سطح مقطعی حدود ۱٫۲۷ سانتیمتر مربع، یعنی یک‌چهارم آن. پس دو برابر کردن قطر لوله، سطح مقطع را چهار برابر می‌کند. اندازه‌های اسمی لوله‌ها همیشه با قطر داخلی واقعی یکی نیستند و ضخامت دیواره هم اثر دارد؛ برای محاسبهٔ دقیق، قطر داخلی را از مشخصات فنی سازنده بگیرید.
حجم استوانه؛ دایره در سه بُعد
حجم استوانه، مساحت دایرهٔ قاعده ضرب در ارتفاع است. بشکه‌ای با قطر ۶۰ سانتیمتر و ارتفاع ۹۰ سانتیمتر، قاعده‌ای با مساحت حدود ۲۸۲۷ سانتیمتر مربع و حجمی حدود ۲۵۴٬۴۷۰ سانتیمتر مکعب، یعنی حدود ۲۵۴ لیتر دارد. برای مخزن آب، منبع سوخت یا گلدان استوانه‌ای، با این ابزار مساحت قاعده را حساب کنید و در ارتفاع ضرب کنید. هر هزار سانتیمتر مکعب، یک لیتر است. سطح جانبی استوانه هم، محیط قاعده ضرب در ارتفاع است؛ مقدار ورقی که برای ساختن بدنهٔ آن لازم است.
دایره در طبیعت و مهندسی
چرخ، شاید مهم‌ترین اختراع مبتنی بر دایره باشد؛ چون نقطهٔ تماس آن با زمین، همیشه فاصلهٔ ثابتی از محور دارد و حرکت نرم میشود. دریچه‌های فاضلاب گرد ساخته میشوند، چون دایره ساده‌ترین شکلی است که در هیچ جهتی از سوراخ هم‌اندازهٔ خودش نمی‌افتد؛ پهنای آن در همهٔ جهت‌ها یکسان است. در طبیعت هم، تنهٔ درختان، ساقه‌ها و مقطع رگ‌ها تقریبا گردند، چون برای سطح مقطع معین، کمترین محیط و در نتیجه کمترین مصالح برای دیواره را لازم دارند.
دایره در درس و امتحان
در سؤال‌های درسی، دایره اغلب با شکل‌های دیگر ترکیب میشود. مساحت ناحیهٔ میان یک مربع و دایرهٔ محاط در آن، مساحت مربع منهای مساحت دایره است؛ برای مربعی با ضلع ۱۰، این ناحیه ۱۰۰ منهای حدود ۷۸٫۵۴، یعنی حدود ۲۱٫۴۶ است. مساحت حلقه، یعنی ناحیهٔ میان دو دایرهٔ هم‌مرکز، تفاضل مساحت دو دایره است؛ برای واشری با شعاع بیرونی ۵ و درونی ۳، حدود ۵۰٫۲۷. در این سؤال‌ها، مساحت هر دایره را جداگانه با ابزار حساب کنید و بعد جمع و تفریق کنید.
یک نکتهٔ مهم برای امتحان: اگر سؤال می‌گوید پاسخ را بر حسب پی بنویسید، عدد پی را حساب نکنید. مساحت دایرهای با شعاع ۵، بیست‌وپنج پی است، نه ۷۸٫۵۴. ابزار عدد اعشاری می‌دهد؛ برای پاسخ بر حسب پی، فقط شعاع را به توان دو برسانید و نماد پی را کنارش بنویسید.
دقت پی در محاسبه
بسیاری از کتاب‌های درسی، پی را ۳٫۱۴ می‌گیرند. این ابزار مقدار دقیق‌تری به کار می‌برد؛ پس پاسخ آن ممکن است در رقم‌های آخر با پاسخ کتاب فرق داشته باشد. برای شعاع ۱۰، مساحت با ۳٫۱۴ برابر ۳۱۴ است و با پی دقیق، حدود ۳۱۴٫۱۶. اگر جواب کتاب را لازم دارید، عدد شعاع به توان دو را در ۳٫۱۴ ضرب کنید؛ تفاوت در کارهای عملی معمولا ناچیز است.
کشیدن دایرهٔ دقیق بدون پرگار
برای کشیدن دایرهای بزرگ روی زمین یا تخته، پرگار کافی نیست. نخ یا طنابی به طول شعاع ببرید، یک سر آن را با میخ در مرکز ثابت کنید و سر دیگر را به مداد یا گچ ببندید. با کشیده نگه داشتن نخ و چرخیدن دور مرکز، دایرهٔ دقیق کشیده میشود. اگر قطر دایره را از ابزار گرفته‌اید، نخ را نصف آن ببرید. برای دایره‌های کوچک‌تر روی کاغذ، لبهٔ یک لیوان یا درپوش با قطر مناسب هم کار می‌کند؛ قطر آن را با خط‌کش اندازه بگیرید تا بدانید چه دایرهای می‌کشید.
اشتباه‌های رایج
اشتباه اول و رایج‌ترین، گذاشتن قطر به جای شعاع در فرمول مساحت است؛ این کار مساحت را چهار برابر بزرگ‌تر از واقع می‌کند. اشتباه دوم، یکی گرفتن محیط و مساحت. اشتباه سوم، تبدیل نادرست یکای مساحت. اشتباه چهارم، انتخاب نادرست حالت ابزار؛ اگر عددی که دارید قطر است و حالت شعاع را انتخاب کنید، همهٔ نتیجه‌ها نادرست میشوند. پیش از خواندن نتیجه، یک بار حالت را بررسی کنید.
ابزارهای مرتبط
برای شکل‌های چندضلعی، محاسبهٔ مستطیل و محاسبهٔ مثلث را ببینید. برای تبدیل یکاهای مساحت، تبدیل واحد مساحت کمک می‌کند. بقیهٔ ابزارها در ابزارهای ریاضی آمده‌اند.
آخرین بازبینی محتوا: · تیم تحریریه ابزار جیبی