محاسبه مساحت، محیط و زوایای مثلث

راهنمای استفاده از محاسبه مثلث

1. روش را انتخاب کنید؛ «قاعده و ارتفاع» یا «سه ضلع».
2. اندازه‌ها را وارد کنید.
3. مساحت و (در حالت سه ضلع) محیط، زوایا و نوع مثلث نمایش داده می‌شود.

محاسبه مساحت مثلث؛ نصف قاعده ضرب در ارتفاع

ساده‌ترین فرمول مساحت مثلث، نصف قاعده ضرب در ارتفاع است. چرا نصف؟ چون هر مثلث، دقیقا نصف یک متوازی‌الاضلاع یا مستطیل با همان قاعده و ارتفاع است. اگر دو نسخه از یک مثلث را کنار هم بگذارید، یک متوازی‌الاضلاع می‌سازند که مساحتش قاعده ضرب در ارتفاع است. برای قاعدهٔ ۱۰ و ارتفاع ۶، مساحت متوازی‌الاضلاع ۶۰ و مساحت مثلث ۳۰ است.

نکتهٔ مهم، معنای ارتفاع است. ارتفاع، فاصلهٔ عمودی رأس روبه‌رو تا خط قاعده است؛ نه طول ضلع کج کنار قاعده. در مثلث قائم‌الزاویه، اگر یکی از دو ضلع زاویهٔ قائمه را قاعده بگیرید، ضلع دیگر همان ارتفاع است. در مثلث منفرجه، ارتفاع ممکن است بیرون از مثلث بیفتد و برای اندازه‌گیری‌اش، باید امتداد قاعده را کشید. هر سه ضلع می‌توانند قاعده باشند و هر کدام ارتفاع خودش را دارد؛ اما حاصل نهایی، یعنی مساحت، همیشه یکی است.

فرمول هرون؛ مساحت بدون ارتفاع

اغلب در عمل، ارتفاع را نمی‌دانیم اما سه ضلع را می‌شود اندازه گرفت. فرمول هرون، که به هرون اسکندرانی نسبت داده می‌شود، مساحت را فقط از روی سه ضلع می‌دهد. ابتدا نصف محیط را حساب کنید و آن را s بنامید. مساحت، جذر حاصل‌ضرب s، s منهای ضلع اول، s منهای ضلع دوم و s منهای ضلع سوم است. برای مثلث ۱۳ و ۱۴ و ۱۵، نصف محیط ۲۱ است و مساحت جذر ۲۱ ضرب در ۸ ضرب در ۷ ضرب در ۶، یعنی جذر ۷۰۵۶، که دقیقا ۸۴ است.

این فرمول برای مثلث ۳ و ۴ و ۵ هم مساحت ۶ را می‌دهد که با نصف ۳ ضرب در ۴ برابر است؛ چون ۳ و ۴، دو ضلع زاویهٔ قائمه‌اند. برای مثلث متساوی‌الاضلاع با ضلع ۱۰، مساحت حدود ۴۳٫۳۰ است؛ یعنی جذر ۳ تقسیم بر ۴، ضرب در ۱۰۰.

زاویه‌ها از روی ضلع‌ها؛ قانون کسینوس

ابزار در حالت سه ضلع، هر سه زاویه را هم حساب می‌کند. برای این کار از قانون کسینوس استفاده می‌شود که تعمیم قضیهٔ فیثاغورس است: مجذور هر ضلع، برابر مجموع مجذورهای دو ضلع دیگر، منهای دو برابر حاصل‌ضرب آن دو در کسینوس زاویهٔ میانشان است. با جابه‌جا کردن این رابطه، کسینوس هر زاویه و بعد خود زاویه به دست می‌آید. زاویهٔ A روبه‌روی ضلع a، زاویهٔ B روبه‌روی ضلع b و زاویهٔ C روبه‌روی ضلع c است.

مجموع سه زاویهٔ هر مثلث، ۱۸۰ درجه است و ابزار این را هم رعایت می‌کند. زاویه‌ها تا دو رقم اعشار نمایش داده می‌شوند. بزرگ‌ترین زاویه، همیشه روبه‌روی بزرگ‌ترین ضلع است و کوچک‌ترین زاویه، روبه‌روی کوچک‌ترین ضلع. برای تبدیل درجه به رادیان و یکاهای دیگر زاویه، تبدیل زاویه را ببینید.

نوع مثلث از روی ضلع‌ها

ابزار نوع مثلث را از دو جهت مشخص می‌کند. از جهت ضلع‌ها: اگر هر سه ضلع برابر باشند، متساوی‌الاضلاع؛ اگر دو ضلع برابر باشند، متساوی‌الساقین؛ و اگر هیچ دو ضلعی برابر نباشند، مختلف‌الاضلاع. از جهت زاویه‌ها: اگر بزرگ‌ترین زاویه دقیقا ۹۰ درجه باشد، قائم‌الزاویه؛ اگر کمتر از ۹۰ باشد، حاده؛ و اگر بیشتر، منفرجه.

نوع زاویه‌ای را بدون حساب زاویه‌ها هم می‌شود تشخیص داد. مجذور بزرگ‌ترین ضلع را با مجموع مجذورهای دو ضلع دیگر مقایسه کنید. اگر برابر بود، قائم‌الزاویه است؛ این همان قضیهٔ فیثاغورس است. اگر کمتر بود، حاده و اگر بیشتر بود، منفرجه. برای ۵ و ۵ و ۸، مجذور ۸ یعنی ۶۴، از مجموع ۲۵ و ۲۵، یعنی ۵۰، بیشتر است؛ پس مثلث منفرجه است و بزرگ‌ترین زاویه‌اش حدود ۱۰۶٫۲۶ درجه.

نامساوی مثلث؛ کی مثلث ساخته نمی‌شود؟

هر سه عددی، ضلع‌های یک مثلث نیستند. اگر یک ضلع از مجموع دو ضلع دیگر بزرگ‌تر یا با آن برابر باشد، دو ضلع کوتاه‌تر به هم نمی‌رسند. با چوب‌های ۲ و ۳ و ۶ سانتی‌متری امتحان کنید؛ دو چوب کوتاه، هر طور بچرخند، دو سر چوب بلند را به هم نمی‌رسانند. ابزار این حالت را تشخیص می‌دهد و به جای نتیجهٔ بی‌معنا، پیام می‌دهد که این سه عدد نمی‌توانند ضلع‌های یک مثلث باشند.

حالت مرزی، وقتی است که یک ضلع تقریبا با مجموع دو ضلع دیگر برابر است. مثلث ۱ و ۱ و ۱٫۹۹۹۹، مثلثی بسیار باریک با زاویه‌ای نزدیک به ۱۸۰ درجه و مساحتی بسیار کوچک است. ابزار آن را حساب می‌کند و نتیجه منفرجه است؛ اما در عمل، چنین مثلثی تقریبا یک پاره‌خط است.

مثلث قائم‌الزاویه و فیثاغورس

مثلث ۳ و ۴ و ۵، معروف‌ترین مثلث قائم‌الزاویه است و نمونهٔ پیش‌فرض ابزار. هر مضربی از آن، مثل ۶ و ۸ و ۱۰ یا ۳۰ و ۴۰ و ۵۰، هم قائم‌الزاویه است. سه‌تایی‌های دیگری هم هستند، مثل ۵ و ۱۲ و ۱۳ یا ۸ و ۱۵ و ۱۷. بنّاها و نجارها از ۳ و ۴ و ۵ برای ساختن گوشهٔ قائمه استفاده می‌کنند: روی یک دیوار ۳ متر و روی دیوار دیگر ۴ متر علامت بزنید؛ اگر فاصلهٔ دو علامت دقیقا ۵ متر بود، گوشه قائمه است.

در مثلث قائم‌الزاویه، اگر دو ضلع را بدانید، ضلع سوم با فیثاغورس به دست می‌آید. وتر، جذر مجموع مجذورهای دو ضلع دیگر است. برای محاسبه‌های جذر، ماشین حساب جذر را ببینید و برای قطر مستطیل که همان وتر است، محاسبهٔ مستطیل را.

زمین‌های نامنظم؛ تقسیم به مثلث

یکی از سودمندترین کاربردهای فرمول هرون، حساب مساحت زمین‌هایی است که شکل منظمی ندارند. هر چندضلعی را می‌شود با کشیدن قطرهایی از یک رأس، به چند مثلث تقسیم کرد. ضلع‌ها و قطرها را با متر اندازه بگیرید، مساحت هر مثلث را با ابزار در حالت سه ضلع حساب کنید و جمع بزنید. نقشه‌برداران قرن‌ها با همین روش، که به آن مثلث‌بندی می‌گویند، زمین‌ها را اندازه می‌گرفتند.

برای نمونه، زمینی چهارضلعی را با یک قطر به دو مثلث تقسیم کنید. اگر مثلث اول ضلع‌های ۲۰ و ۲۵ و ۳۰ متر و مثلث دوم ۳۰ و ۴۰ و ۵۰ متر داشته باشد، که قطر ۳۰ متری میان آن‌ها مشترک است، مساحت اولی حدود ۲۴۸ و دومی دقیقا ۶۰۰ متر مربع است؛ روی هم حدود ۸۴۸ متر مربع. مثلث دوم قائم‌الزاویه است و می‌شد مساحتش را با نصف ۳۰ ضرب در ۴۰ هم حساب کرد.

سقف شیروانی و نمای ساختمان

نمای جلوی سقف شیروانی، یک مثلث متساوی‌الساقین است. اگر عرض ساختمان ۸ متر و ارتفاع تیزهٔ سقف ۲ متر باشد، مساحت این مثلث نصف ۸ ضرب در ۲، یعنی ۸ متر مربع است؛ مقداری که برای پوشاندن یا رنگ کردن این بخش لازم است. طول تیر شیب‌دار سقف، وتر مثلث قائمه‌ای با ضلع‌های ۴ و ۲ متر است، یعنی حدود ۴٫۴۷ متر. همین حساب برای پله، رمپ و هر سطح شیب‌دار دیگر کار می‌کند.

دو مثلث با مساحت یکسان، شکل متفاوت

جالب است که دو مثلث کاملا متفاوت می‌توانند مساحت یکسانی داشته باشند. مثلث ۵ و ۵ و ۶ و مثلث ۵ و ۵ و ۸ هر دو مساحت ۱۲ دارند؛ اولی حاده و دومی منفرجه است. دلیلش این است که در اولی، قاعده ۶ و ارتفاع ۴ است و در دومی، قاعده ۸ و ارتفاع ۳. هر دو حاصل‌ضرب، ۲۴ است و نصفش ۱۲. این نشان می‌دهد که مساحت به تنهایی، شکل مثلث را مشخص نمی‌کند؛ اما سه ضلع، همیشه یک مثلث یکتا را مشخص می‌کنند.

چرا مثلث در سازه‌ها همه جا هست؟

اگر به پل‌های فلزی، دکل‌های برق، سقف‌های سوله یا حتی قفسه‌های فلزی نگاه کنید، مثلث‌ها را همه جا می‌بینید. دلیلش یک ویژگی ساده است: مثلث تنها چندضلعی‌ای است که با ثابت بودن طول ضلع‌هایش، شکلش هم ثابت می‌ماند. یک قاب مربعی از چهار چوب با اتصال‌های لولایی، با کمی فشار کج می‌شود و به لوزی تبدیل می‌شود؛ اما قاب مثلثی، تا وقتی ضلع‌ها نشکنند یا خم نشوند، شکلش را حفظ می‌کند. همین ویژگی، که از یکتایی مثلث با سه ضلع معین می‌آید، دلیل استفاده از مهاربندهای قطری در سازه‌هاست. با اضافه کردن یک قطر به قاب مربعی، آن را به دو مثلث تبدیل می‌کنید و قاب محکم می‌شود.

مثلث در نقشه‌برداری و مکان‌یابی

پیش از ماهواره‌ها، نقشه‌های کشورها با مثلث‌بندی ساخته می‌شدند. نقشه‌برداران یک خط پایه را با دقت زیاد اندازه می‌گرفتند و بعد با اندازه‌گیری زاویه‌ها از دو سر آن به نقطه‌های دور، شبکه‌ای از مثلث‌ها روی سرزمین می‌کشیدند. با دانستن یک ضلع و دو زاویه، بقیهٔ ضلع‌ها حساب می‌شدند. امروز هم، اصل مکان‌یابی ماهواره‌ای بر پایهٔ فاصله تا چند ماهواره است که از نظر هندسی، نسخهٔ سه‌بعدی همین ایده است. در زندگی روزمره، اگر فاصلهٔ خود از دو نقطهٔ معلوم را بدانید، با کشیدن دو دایره روی نقشه، جای خود را پیدا می‌کنید.

مثلث متساوی‌الاضلاع و شش‌ضلعی

مثلث متساوی‌الاضلاع، سه ضلع برابر و سه زاویهٔ ۶۰ درجه دارد. مساحت آن، جذر ۳ تقسیم بر ۴، ضرب در مجذور ضلع است؛ برای ضلع ۱۰، حدود ۴۳٫۳۰. شش مثلث متساوی‌الاضلاع کنار هم، یک شش‌ضلعی منتظم می‌سازند؛ پس مساحت شش‌ضلعی منتظم با ضلع ۱۰، شش برابر آن، یعنی حدود ۲۵۹٫۸ است. کندوی زنبور عسل از همین شش‌ضلعی‌ها ساخته شده؛ شکلی که سطح را بدون فاصله و با کمترین دیواره پر می‌کند. کاشی‌های شش‌ضلعی هم با همین حساب، متراژ می‌شوند. برای این کار، ضلع یک کاشی را اندازه بگیرید و مساحت را با همین روش حساب کنید.

مثلث در تکالیف و امتحان

در سؤال‌های امتحانی، معمولا دو یا سه عدد از مثلث داده می‌شود و بقیه را می‌خواهند. اگر قاعده و مساحت را بدهند، ارتفاع دو برابر مساحت تقسیم بر قاعده است. اگر سه ضلع را بدهند و ارتفاع وارد بر یک ضلع را بخواهند، اول مساحت را با هرون حساب کنید و بعد ارتفاع را با همان فرمول: دو برابر مساحت تقسیم بر آن ضلع. برای مثلث ۱۳ و ۱۴ و ۱۵ با مساحت ۸۴، ارتفاع وارد بر ضلع ۱۴، دو ضرب در ۸۴ تقسیم بر ۱۴، یعنی ۱۲ است.

دقت اندازه‌گیری و مثلث‌های باریک

در اندازه‌گیری زمین، خطای کوچک در ضلع‌ها معمولا خطای کوچکی در مساحت می‌سازد؛ مگر وقتی مثلث بسیار باریک است. در مثلثی که یک ضلعش تقریبا با مجموع دو ضلع دیگر برابر است، چند سانتی‌متر خطا در اندازه‌گیری، مساحت را چند برابر تغییر می‌دهد یا حتی مثلث را غیرممکن نشان می‌دهد. برای همین، نقشه‌برداران زمین را طوری به مثلث تقسیم می‌کنند که مثلث‌ها تا جای ممکن پهن و نزدیک به متساوی‌الاضلاع باشند. اگر زمینی را به مثلث تقسیم می‌کنید، از قطرهایی استفاده کنید که مثلث‌های باریک نسازند.

اگر ابزار پیام نامساوی مثلث داد اما مطمئنید که اندازه‌ها از یک زمین واقعی آمده‌اند، احتمالا یکی از اندازه‌ها اشتباه خوانده یا نوشته شده است. ضلع‌ها را دوباره اندازه بگیرید و بررسی کنید که هر سه را با یک یکا نوشته‌اید. گاهی هم جابه‌جا شدن دو رقم در یادداشت، مثلا ۵۲ به جای ۲۵، همین پیام را می‌سازد و با یک نگاه دوباره به یادداشت‌ها پیدا می‌شود.

مساحت به یکای درست

مثل همهٔ شکل‌ها، یکای مساحت مثلث، مجذور یکای ضلع‌هاست. اگر ضلع‌ها را به متر بدهید، مساحت به متر مربع است. برای تبدیل به هکتار یا یکاهای دیگر، تبدیل واحد مساحت را ببینید.

اشتباه‌های رایج

اشتباه اول، گرفتن ضلع کج به جای ارتفاع در فرمول قاعده و ارتفاع. اشتباه دوم، فراموش کردن نصف در فرمول مساحت. اشتباه سوم، وارد کردن سه عددی که نامساوی مثلث را رعایت نمی‌کنند؛ معمولا نشانهٔ اشتباه در اندازه‌گیری است. اشتباه چهارم، یکسان نبودن یکای سه ضلع. اشتباه پنجم، مقایسهٔ مجذور ضلعی جز بزرگ‌ترین ضلع با مجموع مجذورهای دو ضلع دیگر برای تشخیص قائمه.

ابزارهای مرتبط

برای شکل‌های گرد، محاسبهٔ دایره و برای مربع، محاسبهٔ مربع را ببینید. برای محاسبه‌های مثلثاتی دیگر، مثل سینوس و کسینوس، ماشین حساب آنلاین کمک می‌کند. بقیهٔ ابزارها در ابزارهای ریاضی آمده‌اند.