محاسبه مساحت و محیط مربع

راهنمای استفاده از محاسبه مربع

1. مشخص کنید کدام اندازه را می‌دانید.
2. مقدار آن را وارد کنید.
3. سایر اندازه‌ها نمایش داده می‌شود.

محاسبه مساحت مربع؛ ضلع به توان دو

مربع، چهارضلعی‌ای است که هر چهار ضلعش برابر و هر چهار زاویه‌اش قائمه است. مساحت مربع، ضلع ضرب در ضلع، یعنی ضلع به توان دو است. به همین دلیل، به توان دو رساندن را در فارسی مربع کردن یا مجذور گرفتن هم می‌گویند. مربعی با ضلع ۱۰ سانتی‌متر، ۱۰۰ سانتی‌متر مربع مساحت دارد؛ یعنی ۱۰ ردیف ۱۰تایی از مربع‌های یک سانتی‌متری.

یکای مساحت، خودش یک مربع است. یک متر مربع، مساحت مربعی است که هر ضلعش یک متر باشد. وقتی می‌گوییم آپارتمانی ۸۰ متر مربع است، یعنی سطح آن به اندازهٔ ۸۰ مربع یک‌متری است؛ نه اینکه ۸۰ متر طول داشته باشد. این مفهوم ساده، پایهٔ همهٔ محاسبه‌های مساحت است.

محیط مربع

محیط مربع، چهار برابر ضلع است، چون چهار ضلع برابر دارد. مربعی با ضلع ۱۰، محیط ۴۰ دارد. اگر محیط را بدانید، ضلع یک‌چهارم آن است: محیط ۳۶ یعنی ضلع ۹. کاربرد محیط، هر جایی است که چیزی دور تا دور مربع لازم است؛ مثل فنس دور یک زمین مربعی، نوار دور یک کوسن یا قاب دور یک تابلوی مربع.

قطر مربع و جذر ۲

قطر مربع، پاره‌خطی است که دو گوشهٔ روبه‌رو را به هم وصل می‌کند. قطر، مربع را به دو مثلث قائم‌الزاویهٔ متساوی‌الساقین تقسیم می‌کند. با قضیهٔ فیثاغورس، قطر برابر جذر ضلع به توان دو به علاوهٔ ضلع به توان دو، یعنی ضلع ضرب در جذر ۲ است. جذر ۲ حدود ۱٫۴۱۴۲ است؛ پس قطر هر مربعی، حدود ۴۱ درصد از ضلعش بلندتر است. قطر مربعی با ضلع ۱۰، حدود ۱۴٫۱۴ است.

این نسبت ثابت، کاربردهای زیادی دارد. برای اینکه بدانید یک جسم دراز از دری مربع‌شکل یا جعبه‌ای مکعبی رد می‌شود یا نه، قطر را حساب کنید. برای برش پارچه یا چوب از گوشه به گوشه، طول برش همان قطر است. برای ساختن یک گوشهٔ قائمه با طناب، اگر دو ضلع را برابر گرفتید، فاصلهٔ دو سر باید ضلع ضرب در ۱٫۴۱۴ باشد.

از مساحت به ضلع؛ جذر گرفتن

اگر مساحت یک مربع را بدانید، ضلع آن جذر مساحت است. زمینی مربع‌شکل با مساحت ۴۰۰ متر مربع، ضلع ۲۰ متری دارد. اتاقی مربع‌شکل با ۱۶ متر مربع، ۴ در ۴ متر است. اگر مساحت مربع کامل نباشد، ضلع عددی اعشاری است: مساحت ۵۰، ضلعی حدود ۷٫۰۷ دارد. در ابزار، حالت مساحت را انتخاب کنید و عدد را بنویسید. برای جذر عددهای دیگر و ساده کردن رادیکال، ماشین حساب جذر را ببینید.

این حالت برای تصور ذهنی مساحت هم مفید است. وقتی می‌شنوید زمینی هزار متر مربع است، تصورش سخت است؛ اما اگر بدانید مربعی با همین مساحت، ضلعی حدود ۳۱٫۶ متر دارد، تصویر روشن‌تری می‌گیرید. یک هکتار، ۱۰ هزار متر مربع، دقیقا مربعی ۱۰۰ در ۱۰۰ متری است؛ کمی بزرگ‌تر از یک زمین فوتبال استاندارد که حدود ۱۰۵ در ۶۸ متر است.

از قطر به ضلع و مساحت

گاهی فقط قطر را می‌دانید؛ مثلا وقتی فاصلهٔ دو گوشهٔ روبه‌روی یک زمین را با متر لیزری اندازه گرفته‌اید. ضلع، قطر تقسیم بر جذر ۲ است و مساحت، قطر به توان دو تقسیم بر ۲. مربعی با قطر ۱۰، ضلعی حدود ۷٫۰۷ و مساحتی دقیقا ۵۰ دارد. فرمول مساحت از قطر، در کتاب‌های درسی برای لوزی هم به کار می‌رود؛ مربع، لوزی‌ای است که دو قطرش برابرند و مساحت لوزی، حاصل‌ضرب دو قطر تقسیم بر ۲ است.

دو برابر کردن مساحت؛ مسئله‌ای دو هزار ساله

در یکی از گفت‌وگوهای افلاطون، سقراط از نوجوانی می‌پرسد ضلع مربعی را که مساحتش دو برابر مربعی با ضلع ۲ است، چطور بسازد. پاسخ اول نوجوان، دو برابر کردن ضلع است که نادرست است؛ مربعی با ضلع ۴، چهار برابر مساحت دارد، نه دو برابر. پاسخ درست، ساختن مربع روی قطر مربع اول است. قطر مربعی با ضلع ۱۰، حدود ۱۴٫۱۴ است و مربعی با این ضلع، مساحت ۲۰۰ دارد؛ دقیقا دو برابر ۱۰۰.

این نکته در زندگی روزمره هم مهم است. اگر می‌خواهید اتاقی مربعی بسازید که دو برابر اتاق فعلی جا داشته باشد، ضلع آن باید حدود ۴۱ درصد بزرگ‌تر شود، نه دو برابر. اگر ضلع را دو برابر کنید، چهار برابر فضا ساخته‌اید و هزینهٔ کف و سقف هم چهار برابر می‌شود.

کاشی‌های مربعی

کاشی‌های مربعی ۳۰ در ۳۰، ۶۰ در ۶۰ و ۸۰ در ۸۰ سانتی‌متری، رایج‌ترین اندازه‌های کاشی کف‌اند. کاشی ۶۰ در ۶۰، ۰٫۳۶ متر مربع مساحت دارد؛ پس برای ۱۶ متر مربع کف، حدود ۴۴٫۴ کاشی، یعنی دست‌کم ۴۵ کاشی، به علاوهٔ مقداری برای برش و دورریز لازم است. برای اتاق ۴ در ۴ متری، کاشی ۸۰ در ۸۰ دقیقا ۵ ردیف ۵تایی جا می‌شود، اما کاشی ۶۰ در ۶۰ در هر ردیف ۶ کاشی کامل و یک تکهٔ ۴۰ سانتی‌متری می‌خواهد. انتخاب اندازه‌ای که ضلع اتاق بر آن بخش‌پذیر باشد، برش و دورریز را کم می‌کند.

تصویر مربعی و پیکسل

در شبکه‌های اجتماعی، تصویرهای مربعی رایج‌اند؛ مثلا پست‌های ۱۰۸۰ در ۱۰۸۰ پیکسل. چنین تصویری، بیش از یک میلیون و ۱۶۶ هزار پیکسل دارد که همان ۱۰۸۰ به توان دو است. اگر تصویر را برای چاپ با وضوح ۳۰۰ پیکسل در اینچ آماده می‌کنید، ضلع ۱۰۸۰ پیکسلی، ۳٫۶ اینچ یا حدود ۹٫۱ سانتی‌متر می‌شود. برای برش تصویرهای مستطیلی به مربع، ضلع مربع را برابر بُعد کوچک‌تر تصویر بگیرید.

مربع، حالت خاص مستطیل

مربع، مستطیلی است که طول و عرضش برابرند؛ پس همهٔ ویژگی‌های مستطیل را دارد. اما ویژگی‌هایی هم دارد که مستطیل‌های دیگر ندارند: قطرهایش بر هم عمودند، زاویه‌ها را نصف می‌کنند و با محیط ثابت، بیشترین مساحت را میان همهٔ مستطیل‌ها دارد. اگر ۴۰ متر فنس دارید، مربع ۱۰ در ۱۰ با ۱۰۰ متر مربع، بیشترین مساحت را محصور می‌کند؛ مستطیل ۱۲ در ۸ با همان محیط، ۹۶ متر مربع. برای مستطیل‌ها، محاسبهٔ مساحت مستطیل را ببینید.

مربع‌های صفحهٔ شطرنج

صفحهٔ شطرنج ۶۴ خانه دارد، اما چند مربع در آن هست؟ اگر مربع‌های بزرگ‌تر را هم بشمارید، ۶۴ مربع یک‌خانه‌ای، ۴۹ مربع دو در دو، ۳۶ مربع سه در سه، ۲۵ مربع چهار در چهار، ۱۶ مربع پنج در پنج، ۹ مربع شش در شش، ۴ مربع هفت در هفت و یک مربع هشت در هشت هست؛ روی هم ۲۰۴ مربع. این عددها خودشان مربع‌اند: ۸ به توان دو، ۷ به توان دو و همین‌طور تا ۱ به توان دو. این معما، تمرین خوبی برای دیدن الگوهای عددی است.

عددهای مربع کامل و حساب ذهنی

عددهایی که مساحت مربع‌هایی با ضلع صحیح‌اند، مثل ۱، ۴، ۹، ۱۶، ۲۵، ۳۶ و ۴۹، عددهای مربع کامل نام دارند. حفظ کردن مربع‌های ۱ تا ۲۰، حساب ذهنی را بسیار سریع می‌کند. یک ترفند برای مربع عددهایی که به ۵ ختم می‌شوند: رقم دهگان را در یکی بیشتر از خودش ضرب کنید و ۲۵ را جلوی آن بنویسید. برای ۳۵ به توان دو، ۳ ضرب در ۴ برابر ۱۲ است و پاسخ ۱۲۲۵. برای ۶۵ به توان دو، ۶ ضرب در ۷ برابر ۴۲ و پاسخ ۴۲۲۵.

زمین و باغچهٔ مربعی

برای زمین‌ها و باغچه‌های مربعی، این ابزار سه کار مفید انجام می‌دهد. اگر مساحت زمین را از سند می‌دانید، ضلع آن را می‌دهد تا بدانید چقدر فنس یا دیوار لازم است. زمینی ۶۲۵ متری، ضلعی ۲۵ متری و محیطی ۱۰۰ متری دارد. اگر می‌خواهید باغچه‌ای مربعی با مساحت معین بسازید، ضلع آن را می‌دهد تا با طناب و میخ روی زمین علامت بزنید. و اگر می‌خواهید بدانید گوشه‌های باغچه قائمه است یا نه، قطر را می‌دهد تا با اندازه‌گیری دو قطر بررسی کنید؛ در مربع کامل، دو قطر برابرند و هر کدام ضلع ضرب در ۱٫۴۱۴ است.

برای کاشتن درخت یا بوته در شبکه‌ای مربعی، فاصلهٔ ردیف‌ها و ستون‌ها یکسان است و هر گیاه، مربعی به ضلع همان فاصله را در اختیار دارد. با فاصلهٔ ۳ متر، هر درخت ۹ متر مربع فضا دارد؛ پس در زمینی ۶۲۵ متری، حدود ۶۹ درخت جا می‌شود. در عمل، حاشیهٔ کنار دیوار هم باید در نظر گرفته شود و تعداد کمتر است.

مربع در طراحی و هنر

مربع در طراحی، نماد ثبات و توازن است. لوگوها، آیکون‌ها و قاب‌های مربعی، معمولا حس نظم می‌دهند. در کاشی‌کاری و آجرکاری سنتی ایرانی، الگوهای هندسی بسیاری بر پایهٔ شبکهٔ مربعی ساخته شده‌اند و خط بنّایی، که با آجرهای مربعی و مستطیلی نام‌ها و آیه‌ها را روی دیوار می‌نویسد، نمونهٔ زیبای آن است. طراحانی که با این الگوها کار می‌کنند، ضلع هر واحد و تعداد واحدها را با همین حساب‌های ساده تعیین می‌کنند.

مکعب؛ مربع در سه بُعد

مکعب، شکل سه‌بُعدی‌ای است که شش وجه مربعی برابر دارد. مساحت هر وجه، ضلع به توان دو و مساحت کل سطح، شش برابر آن است. حجم مکعب، ضلع به توان سه است. جعبه‌ای مکعبی با ضلع ۳۰ سانتی‌متر، ۵۴۰۰ سانتی‌متر مربع سطح و ۲۷ هزار سانتی‌متر مکعب، یعنی ۲۷ لیتر، حجم دارد. برای کادوپیچی آن، دست‌کم ۵۴۰۰ سانتی‌متر مربع کاغذ لازم است؛ به علاوهٔ مقداری برای هم‌پوشانی لبه‌ها. قطر فضایی مکعب، از یک گوشه تا گوشهٔ روبه‌رو در عمق، ضلع ضرب در جذر ۳ است؛ حدود ۱٫۷۳۲ برابر ضلع.

مربع در مسئله‌های درسی

در کتاب‌های درسی، مسئله‌های مربع اغلب با شکل‌های دیگر ترکیب می‌شوند. دایره‌ای که درون مربع جا می‌شود، قطرش برابر ضلع مربع است. دایره‌ای که از چهار گوشهٔ مربع می‌گذرد، قطرش برابر قطر مربع است. مربعی که درون دایره‌ای به شعاع r جا می‌شود، قطرش ۲r و مساحتش ۲ ضرب در r به توان دو است. این ارتباط‌ها، کلید حل بسیاری از سؤال‌های هندسه‌اند. برای بخش دایره‌ای این مسئله‌ها، ابزار محاسبهٔ دایره را کنار همین ابزار به کار ببرید.

یکاهای مساحت و تبدیل آن‌ها

چون یکای مساحت، مربع یکای طول است، ضریب تبدیل یکاهای مساحت، مجذور ضریب یکاهای طول است. یک متر، ۱۰۰ سانتی‌متر است؛ پس یک متر مربع، ۱۰۰ به توان دو، یعنی ۱۰ هزار سانتی‌متر مربع است. یک کیلومتر ۱۰۰۰ متر است؛ پس یک کیلومتر مربع یک میلیون متر مربع یا ۱۰۰ هکتار است. یک اینچ ۲٫۵۴ سانتی‌متر است؛ پس یک اینچ مربع حدود ۶٫۴۵ سانتی‌متر مربع. فراموش کردن این مجذور، رایج‌ترین اشتباه در تبدیل مساحت است و نتیجه را ده‌ها یا صدها برابر نادرست می‌کند.

با این ابزار، یک راه ساده برای بررسی تبدیل وجود دارد: ضلع مربع را به یک یکا بنویسید و مساحت را ببینید، بعد ضلع را به یکای دیگر تبدیل کنید و دوباره مساحت را ببینید. ضلع ۱ متر، مساحت ۱ می‌دهد؛ ضلع ۱۰۰ سانتی‌متر، مساحت ۱۰ هزار. این دو عدد، یک سطح را با دو یکا نشان می‌دهند.

گرد کردن ضلع و دقت

وقتی ضلع را از روی مساحت یا قطر حساب می‌کنید، نتیجه اغلب عددی اعشاری با رقم‌های زیاد است. برای کارهای عملی، ضلع را با دقتی که ابزار اندازه‌گیری شما دارد گرد کنید؛ متر نواری معمولا میلی‌متر را نشان می‌دهد، پس سه رقم اعشار متر کافی است. اما اگر ضلع گرد شده را دوباره برای مساحت به کار ببرید، کمی خطا وارد می‌شود؛ پس برای محاسبه‌های پیاپی، همیشه از عدد کامل ابزار استفاده کنید و فقط عدد نهایی را گرد کنید.

اشتباه‌های رایج

اشتباه اول، دو برابر دانستن مساحت با دو برابر کردن ضلع. اشتباه دوم، یکی گرفتن متر مربع و مربع یک متری با هر شکل یک‌متری. اشتباه سوم، تقسیم مساحت بر ۴ برای پیدا کردن ضلع، به جای جذر گرفتن؛ این کار ضلع را از روی محیط می‌دهد، نه مساحت. اشتباه چهارم، انتخاب نادرست حالت ابزار؛ اگر عددی که دارید قطر است و حالت ضلع را انتخاب کنید، همهٔ نتیجه‌ها حدود ۴۱ درصد بزرگ‌تر از واقع می‌شوند.

ابزارهای مرتبط

برای شکل‌های گرد، محاسبهٔ دایره و برای مثلث‌ها، محاسبهٔ مثلث را ببینید. برای تبدیل یکاهای مساحت، از سانتی‌متر مربع تا هکتار، تبدیل واحد مساحت کمک می‌کند. بقیهٔ ابزارها در ابزارهای ریاضی آمده‌اند.