فهرست مطالب
ماشین حساب کسر این صفحه، چهار عمل اصلی را روی دو کسر انجام می‌دهد و نتیجه را به شکل کسر ساده‌شده نشان می‌دهد؛ نه عدد اعشاری گرد شده. صورت و مخرج کسر اول را در دو کادر بنویسید، عمل را از میان جمع، تفریق، ضرب و تقسیم انتخاب کنید و صورت و مخرج کسر دوم را بنویسید. نتیجهٔ اصلی، کسر ساده‌شده است و اگر صورت از مخرج بزرگتر باشد، عدد مخلوط هم زیر آن نوشته میشود. کنار نتیجه، معادل اعشاری و درصد آن آمده است و یک خط هم محاسبهٔ خام، پیش از ساده کردن، را نشان می‌دهد تا مراحل را دنبال کنید. نمونهٔ پیش‌فرض، سهچهارم به علاوهٔ پنجششم است که نوزدهدوازدهم، یا یک و هفتدوازدهم، میشود. صورت و مخرج می‌توانند عددهای صحیح با هر تعداد رقم و منفی باشند.
راهنمای استفاده از ماشین حساب کسر
- صورت و مخرج کسر اول را وارد کنید.
- عملیات (+، −، ×، ÷) را انتخاب کنید.
- صورت و مخرج کسر دوم را وارد کنید؛ نتیجهٔ ساده‌شده نمایش داده میشود.
ماشین حساب کسر؛ چرا کسر را کسر نگه داریم؟
ماشین حساب‌های معمولی، کسرها را به عدد اعشاری تبدیل می‌کنند. برای یک‌چهارم که ۰٫۲۵ است، این مشکلی ندارد. اما یک‌سوم در اعشار ۰٫۳۳۳۳ بی‌پایان است و ماشین حساب ناچار آن را گرد میکند. اگر سه بار یک‌سوم را با هم جمع کنید، ماشین حساب ممکن است به جای ۱، ۰٫۹۹۹۹۹۹۹ نشان دهد. این ابزار کسر را به شکل صورت و مخرج صحیح نگه می‌دارد و با عددهای صحیح بزرگ حساب میکند؛ پس هیچ گرد کردنی در کار نیست و یک‌سوم به علاوهٔ دوسوم، دقیقا یک میشود.
در کتاب‌های درسی هم جواب را معمولا به شکل کسر ساده‌شده می‌خواهند، نه اعشار. پس این ابزار جوابی می‌دهد که میشود مستقیم با جواب کتاب مقایسه کرد. معادل اعشاری و درصد هم برای وقتی است که عدد را در کاربردهای روزمره لازم دارید؛ مثلا برای اندازه‌گیری یا مقایسه.
جمع و تفریق کسرها
برای جمع یا تفریق دو کسر، باید مخرج‌ها یکی باشند. اگر یکی نیستند، هر دو کسر را به کسرهای هم‌ارزی با مخرج مشترک تبدیل میکنیم. ساده‌ترین مخرج مشترک، حاصل‌ضرب دو مخرج است. ابزار هم همین را به کار می‌برد: برای سهچهارم به علاوهٔ پنجششم، صورت تازه ۳ ضرب در ۶ به علاوهٔ ۵ ضرب در ۴، یعنی ۳۸، و مخرج تازه ۴ ضرب در ۶، یعنی ۲۴ است. خط محاسبه، همین ۳۸ بر ۲۴ را نشان می‌دهد. سپس ابزار صورت و مخرج را بر ب.م.م آن‌ها، که ۲ است، تقسیم میکند تا نوزدهدوازدهم به دست آید.
در کلاس، معمولا کوچک‌ترین مخرج مشترک را به کار می‌برند که ک.م.م مخرج‌هاست؛ برای ۴ و ۶، عدد ۱۲. با آن، سهچهارم میشود نُهدوازدهم و پنجششم میشود دهدوازدهم و جمعشان نوزدهدوازدهم. هر دو روش به یک جواب می‌رسند؛ روش ک.م.م عددهای کوچک‌تری دارد و ساده کردن پایانی‌اش کمتر است. برای پیدا کردن ک.م.م، ب.م.م و ک.م.م را ببینید.
ضرب کسرها
ضرب کسرها ساده‌ترین عمل است: صورتها را در هم و مخرج‌ها را در هم ضرب کنید. سهچهارم ضرب در پنجششم، ۱۵ بر ۲۴ است که پس از ساده کردن با ب.م.م ۳، پنج‌هشتم میشود. یک ترفند برای کوچک نگه داشتن عددها، ساده کردن ضربدری پیش از ضرب است: ۳ در صورت اول و ۶ در مخرج دوم، عامل ۳ مشترک دارند و میشود هر دو را بر ۳ تقسیم کرد. ضرب کسر در عدد صحیح هم همین است؛ عدد صحیح را کسری با مخرج ۱ بنویسید. ابزار عدد صحیح را با مخرج ۱ می‌پذیرد.
ضرب در کسر، یعنی گرفتن بخشی از یک عدد. دوسوم ضرب در سهچهارم، یعنی دوسومِ سهچهارم، که یکدوم است. اگر دستور پختی برای ۴ نفر، سهچهارم پیمانه آرد می‌خواهد و شما برای ۶ نفر می‌پزید، ضریب ۶ بر ۴، یعنی سه‌دوم است و آرد لازم، سهچهارم ضرب در سه‌دوم، یعنی نُه‌هشتم پیمانه، یا یک و یک‌هشتم پیمانه است.
تقسیم کسرها؛ معکوس و ضرب
برای تقسیم بر یک کسر، در معکوس آن ضرب میکنیم. سهچهارم تقسیم بر پنجششم، برابر سهچهارم ضرب در شش‌پنجم، یعنی ۱۸ بر ۲۰ است که نُه‌دهم میشود. چرا معکوس؟ تقسیم بر یک عدد، یعنی پرسیدن اینکه آن عدد چند بار در عدد اول جا میشود. یکدوم تقسیم بر یک‌چهارم، یعنی چند تا یک‌چهارم در یکدوم جا میشود؟ دو تا. و یکدوم ضرب در چهار، یعنی معکوس یک‌چهارم، هم ۲ است.
تقسیم بر کسری با صورت صفر، تعریف نشده است، چون معکوس آن مخرج صفر دارد. ابزار در این حالت پیام تقسیم بر صفر نشان می‌دهد. مخرج صفر هم در هیچ‌کدام از دو کسر پذیرفته نمی‌شود.
ساده کردن کسر
کسر ساده‌شده، کسری است که صورت و مخرجش هیچ عامل مشترکی جز ۱ ندارند. برای ساده کردن، صورت و مخرج را بر بزرگترین مقسومعلیه مشترکشان تقسیم میکنیم. ۱۸ بر ۲۴، ب.م.م ۶ دارد و به سهچهارم ساده میشود. ابزار همیشه نتیجه را ساده‌شده نشان می‌دهد. اگر فقط می‌خواهید یک کسر را ساده کنید، آن را در کسر اول بنویسید و عمل ضرب را با کسر دوم یک‌یکم انتخاب کنید؛ نتیجه همان کسر ساده‌شده است.
اگر نتیجه عدد صحیح باشد، یعنی مخرج پس از ساده کردن ۱ شود، ابزار فقط عدد صحیح را نشان می‌دهد. یک‌هشتم به علاوهٔ سه‌هشتم، یکدوم است و یکدوم تقسیم بر یک‌چهارم، ۲.
عدد مخلوط
وقتی صورت از مخرج بزرگتر است، کسر را نامتعارف می‌گویند. چنین کسری را میشود به شکل عدد مخلوط هم نوشت: یک عدد صحیح و یک کسر کوچکتر از یک. نوزدهدوازدهم، یعنی ۱۲ دوازدهم که یک واحد کامل است، به علاوهٔ ۷ دوازدهم؛ پس یک و هفتدوازدهم. ابزار عدد مخلوط را زیر نتیجه می‌نویسد. برای وارد کردن عدد مخلوط در ابزار، اول آن را به کسر نامتعارف تبدیل کنید: دو و یک‌سوم، یعنی ۲ ضرب در ۳ به علاوهٔ ۱، تقسیم بر ۳، که هفت‌سوم است.
در زندگی روزمره، عدد مخلوط خواناتر است: یک و نیم پیمانه، دو و سهچهارم اینچ. در محاسبه اما، کسر نامتعارف راحت‌تر است، چون ضرب و تقسیم را بدون تبدیل انجام می‌دهید. برای عددهای منفی، عدد مخلوط به این شکل نوشته میشود: منفی نوزدهدوازدهم، منفی یک و هفتدوازدهم است.
کسر به اعشار و درصد
برای تبدیل کسر به عدد اعشاری، صورت را بر مخرج تقسیم کنید. یک‌چهارم ۰٫۲۵ و سه‌هشتم ۰٫۳۷۵ است. برخی کسرها، مثل یک‌سوم و یک‌هفتم، اعشار بی‌پایان تکرارشونده دارند: یک‌سوم ۰٫۳۳۳ و یک‌هفتم ۰٫۱۴۲۸۵۷ با شش رقمی که تا بی‌نهایت تکرار می‌شوند. قاعدهٔ ساده: اگر مخرج کسر ساده‌شده، عاملی جز ۲ و ۵ نداشته باشد، اعشار آن پایان دارد؛ وگرنه تکرارشونده است. ابزار معادل اعشاری را تا دوازده رقم معنادار نشان می‌دهد.
برای درصد، معادل اعشاری را در ۱۰۰ ضرب کنید. سهچهارم ۷۵ درصد و نوزدهدوازدهم حدود ۱۵۸٫۳ درصد است. ابزار درصد را هم کنار نتیجه نشان می‌دهد. برای محاسبه‌های درصدی دیگر، محاسبهٔ درصد را ببینید.
| کسر | اعشاری | درصد |
|---|---|---|
| ۱/۲ | ۰٫۵ | ۵۰٪ |
| ۱/۴ | ۰٫۲۵ | ۲۵٪ |
| ۳/۴ | ۰٫۷۵ | ۷۵٪ |
| ۱/۸ | ۰٫۱۲۵ | ۱۲٫۵٪ |
| ۳/۸ | ۰٫۳۷۵ | ۳۷٫۵٪ |
| ۱/۳ | حدود ۰٫۳۳۳ | حدود ۳۳٫۳٪ |
| ۲/۳ | حدود ۰٫۶۶۷ | حدود ۶۶٫۷٪ |
| ۱/۵ | ۰٫۲ | ۲۰٪ |
کسر در آشپزخانه و کارگاه
کسرها در آشپزی و کارهای فنی همه جا هستند. دستورهای پخت، پیمانه و قاشق را با کسر می‌دهند و بزرگ یا کوچک کردن دستور، همان ضرب کسر است. اگر سه‌هشتم یک کیک ۲۴۰ گرمی را بخواهید، سه‌هشتم ضرب در ۲۴۰، یعنی ۹۰ گرم است. در نجاری و لوله‌کشی، اندازه‌های اینچی معمولا کسری‌اند: پیچ یک‌چهارم اینچ، لولهٔ سهچهارم اینچ. جمع دو قطعهٔ پنج‌هشتم و سهچهارم اینچی، یک و سه‌هشتم اینچ است. برای تبدیل اینچ به سانتی‌متر، تبدیل اینچ به سانتی‌متر را ببینید.
کسر و نسبت
کسر و نسبت دو شکل از یک مفهوم‌اند. نسبت ۳ به ۴، همان کسر سهچهارم است و نسبت ساده‌شدهٔ ۱۸ به ۲۴، همان ساده کردن کسر ۱۸ بر ۲۴. اگر در مسئله‌ای نسبت دو مقدار را دارید و مقدار سوم را می‌خواهید، این کار تناسب است و محاسبهٔ نسبت و تناسب آن را مستقیم حل میکند.
مقایسهٔ دو کسر؛ کدام بزرگتر است؟
یکی از پرسش‌های رایج در تکالیف، مقایسهٔ دو کسر است؛ مثلا اینکه پنج‌هفتم بزرگتر است یا هفت‌دهم. سه راه برای پاسخ وجود دارد. راه اول، هممخرج کردن است: با مخرج مشترک ۷۰، پنج‌هفتم میشود ۵۰ بر ۷۰ و هفت‌دهم میشود ۴۹ بر ۷۰؛ پس پنج‌هفتم کمی بزرگتر است. راه دوم، ضرب ضربدری است: ۵ ضرب در ۱۰ را با ۷ ضرب در ۷ مقایسه کنید؛ ۵۰ از ۴۹ بزرگتر است، پس کسر اول بزرگتر است. راه سوم، تبدیل به اعشار است: پنج‌هفتم حدود ۰٫۷۱۴ و هفت‌دهم ۰٫۷.
با این ابزار، می‌توانید دو کسر را از هم کم کنید. اگر نتیجه مثبت بود، کسر اول بزرگتر است و اگر منفی بود، کسر دوم. اندازهٔ تفاوت هم نشان می‌دهد این دو چقدر به هم نزدیک‌اند؛ برای این نمونه، تفاوت یک‌هفتادم است که بسیار کوچک است و توضیح می‌دهد چرا با نگاه کردن، تشخیص سخت است.
کسرهای هم‌ارز
کسرهای هم‌ارز، کسرهایی‌اند که با وجود صورت و مخرج متفاوت، مقدار یکسانی دارند. یکدوم، دوچهارم، سه‌ششم و پنجاه‌صدم، همه یک مقدارند. هر کسر را میشود با ضرب صورت و مخرج در یک عدد، به بی‌نهایت کسر هم‌ارز تبدیل کرد و با تقسیم بر عامل مشترک، به ساده‌ترین شکلش رساند. این مفهوم پایهٔ هممخرج کردن است: وقتی سهچهارم را به نُهدوازدهم تبدیل میکنیم، مقدار را تغییر نداده‌ایم، فقط شکل نوشتن را عوض کرده‌ایم تا با کسر دیگر جمع‌پذیر شود.
برای بررسی اینکه دو کسر هم‌ارزند یا نه، آن‌ها را از هم کم کنید؛ اگر حاصل صفر شد، هم‌ارزند. یا هر دو را در ابزار ساده کنید و ببینید به یک کسر می‌رسند یا نه.
کسرها در درس‌های دیگر
کسرها فقط در درس ریاضی نیستند. در علوم، غلظت محلول‌ها و نسبت ترکیب مواد با کسر بیان میشود. در موسیقی، طول نت‌ها کسری از نت گرد است: سفید نصف، سیاه یک‌چهارم و چنگ یک‌هشتم. در جغرافیا، مقیاس نقشه کسر است؛ مقیاس یک‌پنجاه‌هزارم یعنی هر سانتی‌متر روی نقشه، ۵۰ هزار سانتی‌متر، یعنی نیم کیلومتر، روی زمین است. در احتمال هم، احتمال هر رویداد کسری میان صفر و یک است؛ احتمال آمدن شش در پرتاب تاس، یک‌ششم است و احتمال آمدن دو شش پشت سر هم، یک‌ششم ضرب در یک‌ششم، یعنی یک‌سی‌وششم.
کسرهای بزرگ و دقت کامل
این ابزار با عددهای صحیح بزرگ کار میکند؛ پس صورت و مخرج می‌توانند ده‌ها رقم داشته باشند و نتیجه همچنان دقیق است. این برای بررسی محاسبه‌های دستی طولانی، مسئله‌های مسابقه‌ای و بررسی خروجی برنامه‌هایی که با کسرها کار می‌کنند، مفید است. معادل اعشاری و درصد اما با دقت معمولی رایانه حساب می‌شوند و برای کسرهای بسیار بزرگ، رقم‌های آخرشان گرد میشود؛ خود کسر ساده‌شده، همیشه دقیق است.
تبدیل عدد اعشاری به کسر
گاهی برعکس، عدد اعشاری دارید و کسرش را می‌خواهید. برای اعشارهای پایان‌دار، عدد را بدون ممیز به عنوان صورت و توان مناسبی از ۱۰ را به عنوان مخرج بنویسید و ساده کنید. ۰٫۳۷۵ یعنی ۳۷۵ بر ۱۰۰۰ که با ب.م.م ۱۲۵ به سه‌هشتم ساده میشود. ۱٫۲۵ یعنی ۱۲۵ بر ۱۰۰ که پنج‌چهارم است. با این ابزار، صورت و مخرج را در کسر اول بنویسید و در کسر دوم یک‌یکم را ضرب کنید تا شکل ساده‌شده را ببینید.
برای اعشارهای تکرارشونده، روش دیگری لازم است. ۰٫۳۳۳ بی‌پایان را x بنامید؛ ده برابر آن ۳٫۳۳۳ است و تفاضل این دو، ۹x برابر ۳، پس x یک‌سوم است. همین روش برای ۰٫۱۴۲۸۵۷ تکرارشونده، یک‌هفتم را می‌دهد. اگر عدد اعشاری از یک اندازه‌گیری آمده و تکرار واقعی ندارد، مثل ۰٫۳۳، کسر دقیقش ۳۳ بر ۱۰۰ است، نه یک‌سوم؛ پیش از تبدیل، مطمئن شوید عدد واقعا تکرارشونده است یا فقط گرد شده.
تمرین با ابزار؛ پیشنهادی برای والدین
اگر در تکالیف فرزندتان کمک می‌کنید، به جای دادن جواب، از ابزار برای بررسی استفاده کنید. بگذارید فرزندتان اول مسئله را روی کاغذ حل کند و بعد جواب را در ابزار وارد کند. اگر یکی نبود، خط محاسبهٔ خام ابزار را با مرحلهٔ مشابه در دفتر مقایسه کنید تا ببینید اشتباه کجا رخ داده؛ در هممخرج کردن، در جمع صورتها یا در ساده کردن. این روش، به جای حفظ کردن قاعده، فهم را تقویت میکند و اعتماد به نفس کودک را هم در حل مسئله‌های بعدی بالا می‌برد.
اشتباه‌های رایج
اشتباه اول و بسیار رایج، جمع صورتها با هم و مخرج‌ها با هم است؛ یکدوم به علاوهٔ یک‌سوم، دوپنجم نیست، بلکه پنجششم است. اشتباه دوم، فراموش کردن معکوس در تقسیم، یا معکوس کردن کسر اول به جای دوم. اشتباه سوم، ساده نکردن جواب نهایی. اشتباه چهارم، تبدیل نکردن عدد مخلوط پیش از ضرب؛ دو و یکدوم ضرب در دوسوم، دو ضرب در دوسوم به علاوهٔ یکدوم نیست، بلکه پنج‌دوم ضرب در دوسوم، یعنی پنج‌سوم است.
ابزارهای مرتبط
برای محاسبه‌های عمومی با عددهای اعشاری، ماشین حساب آنلاین و برای حل معادله‌هایی با ضریب کسری، حل معادلهٔ درجه یک را ببینید. بقیهٔ ابزارها در ابزارهای ریاضی آمده‌اند.
آخرین بازبینی محتوا: · تیم تحریریه ابزار جیبی