فهرست مطالب
محاسبه ب.م.م و ک.م.م با این ابزار، برای دو یا چند عدد صحیح، با هر تعداد رقم، انجام میشود. عددها را در کادر بنویسید و با فاصله، ویرگول انگلیسی یا فارسی یا نقطه‌ویرگول از هم جدا کنید. نتیجه در دو کادر نمایش داده میشود: بزرگترین مقسوم‌علیه مشترک که به آن ب.م.م می‌گویند، و کوچکترین مضرب مشترک که ک.م.م نام دارد. زیر نتیجه‌ها، مراحل الگوریتم اقلیدس برای دو عدد اول فهرست نوشته میشود تا ببینید ب.م.م چطور به دست آمده و بتوانید همان را در دفتر بنویسید. نمونهٔ پیش‌فرض، ۴۸ و ۱۸ و ۳۰ است که ب.م.م آنها ۶ و ک.م.م آنها ۷۲۰ است. عددهای منفی با قدر مطلقشان حساب می‌شوند، صفرها کنار گذاشته می‌شوند و عددهای اعشاری پذیرفته نمی‌شوند.
راهنمای استفاده از محاسبه ب.م.م و ک.م.م
- اعداد را با فاصله یا ویرگول جدا کنید.
- ب.م.م و ک.م.م بلافاصله نمایش داده میشود.
- مراحل الگوریتم اقلیدس برای دو عدد اول را ببینید.
محاسبه ب.م.م و ک.م.م؛ تعریف‌ها
مقسوم‌علیه یک عدد، عددی است که آن را بدون باقیمانده بشمارد. مقسوم‌علیه‌های ۱۸، عددهای ۱، ۲، ۳، ۶، ۹ و ۱۸ هستند. مقسوم‌علیه‌های ۴۸، عددهای ۱، ۲، ۳، ۴، ۶، ۸، ۱۲، ۱۶، ۲۴ و ۴۸. مقسوم‌علیه‌های مشترک این دو، ۱، ۲، ۳ و ۶ هستند و بزرگ‌ترینشان، ۶، ب.م.م است. مضرب یک عدد، حاصل‌ضرب آن در عددهای صحیح است؛ مضرب‌های ۱۸، عددهای ۱۸، ۳۶، ۵۴، ۷۲ و ... و مضرب‌های ۴۸، عددهای ۴۸، ۹۶، ۱۴۴ و ... . کوچکترین عددی که در هر دو فهرست هست، ۱۴۴، ک.م.م است.
این روش فهرست کردن، برای عددهای کوچک ساده و قابل فهم است، اما برای عددهای بزرگ بسیار طولانی میشود. دو روش سریع‌تر وجود دارد: تجزیه به عامل‌های اول و الگوریتم اقلیدس. این ابزار برای ب.م.م از الگوریتم اقلیدس استفاده میکند که حتی برای عددهای صدها رقمی، در کسری از ثانیه به جواب می‌رسد.
الگوریتم اقلیدس؛ دو هزار سال و هنوز بهترین
الگوریتم اقلیدس، که در کتاب اصول اقلیدس آمده، یکی از قدیمی‌ترین الگوریتم‌هایی است که هنوز به کار می‌رود. ایدهٔ آن ساده است: ب.م.م دو عدد، با ب.م.م عدد کوچکتر و باقیماندهٔ تقسیم بزرگتر بر کوچکتر برابر است. پس به جای دو عدد بزرگ، با دو عدد کوچکتر کار می‌کنیم و این کار را تکرار می‌کنیم تا باقیمانده صفر شود. آخرین باقیماندهٔ ناصفر، ب.م.م است.
برای ۴۸ و ۱۸: ۴۸ تقسیم بر ۱۸ میشود ۲ با باقیماندهٔ ۱۲. حالا ۱۸ تقسیم بر ۱۲ میشود ۱ با باقیماندهٔ ۶. بعد ۱۲ تقسیم بر ۶ میشود ۲ با باقیماندهٔ صفر. پس ب.م.م ۶ است. نمونهٔ کلاسیک دیگر، ۱۰۷۱ و ۴۶۲ است: ۱۰۷۱ برابر ۴۶۲ ضرب در ۲ به علاوهٔ ۱۴۷، بعد ۴۶۲ برابر ۱۴۷ ضرب در ۳ به علاوهٔ ۲۱، و ۱۴۷ برابر ۲۱ ضرب در ۷ بدون باقیمانده. ب.م.م ۲۱ است. با سه تقسیم، بدون اینکه هیچ‌کدام از دو عدد را تجزیه کنیم.
روش تجزیه؛ روش کتاب درسی
در کتاب‌های درسی، معمولا ب.م.م و ک.م.م با تجزیه به عامل‌های اول آموزش داده میشود. ۴۸ برابر ۲ به توان ۴ ضرب در ۳ است و ۱۸ برابر ۲ ضرب در ۳ به توان ۲. برای ب.م.م، عامل‌های مشترک را با کمترین توان برمی‌داریم: ۲ به توان ۱ ضرب در ۳ به توان ۱، یعنی ۶. برای ک.م.م، همهٔ عامل‌ها را با بیشترین توان برمی‌داریم: ۲ به توان ۴ ضرب در ۳ به توان ۲، یعنی ۱۴۴. این روش، منطق ب.م.م و ک.م.م را روشن‌تر نشان می‌دهد و برای سه عدد یا بیشتر هم مستقیم کار میکند.
ایراد روش تجزیه، سختی تجزیهٔ عددهای بزرگ است. برای عددی ۲۰ رقمی که از دو عامل اول بزرگ ساخته شده، تجزیه بسیار زمان‌بر است، اما الگوریتم اقلیدس با چند ده تقسیم به جواب می‌رسد. برای تجزیهٔ عددهای تا ۱۵ رقم، تشخیص عدد اول را ببینید.
ب.م.م و ک.م.م چند عدد
برای سه عدد یا بیشتر، ب.م.م و ک.م.م را پشت سر هم حساب می‌کنیم. ب.م.م ۴۸ و ۱۸، ۶ است و ب.م.م ۶ و ۳۰ هم ۶؛ پس ب.م.م هر سه، ۶ است. ک.م.م ۴۸ و ۱۸، ۱۴۴ است و ک.م.م ۱۴۴ و ۳۰، ۷۲۰؛ پس ک.م.م هر سه، ۷۲۰ است. ابزار همین کار را برای هر تعداد عدد انجام می‌دهد. مراحل اقلیدس را فقط برای دو عدد اول نشان می‌دهد تا فهرست مراحل بیش از اندازه طولانی نشود؛ اگر مراحل جفت دیگری را لازم دارید، آن دو عدد را جداگانه وارد کنید.
| عددها | ب.م.م | ک.م.م |
|---|---|---|
| ۴۸ و ۱۸ | ۶ | ۱۴۴ |
| ۴۸ و ۱۸ و ۳۰ | ۶ | ۷۲۰ |
| ۱۰۷۱ و ۴۶۲ | ۲۱ | ۲۳٬۵۶۲ |
| ۱۲ و ۱۸ و ۲۴ | ۶ | ۷۲ |
| ۳ و ۴ و ۵ و ۶ | ۱ | ۶۰ |
| ۱۷ و ۳۰ | ۱ | ۵۱۰ |
رابطهٔ ب.م.م و ک.م.م
برای دو عدد صحیح مثبت، حاصل‌ضرب ب.م.م و ک.م.م، با حاصل‌ضرب خود دو عدد برابر است. برای ۴۸ و ۱۸، ب.م.م ۶ و ک.م.م ۱۴۴ است و ۶ ضرب در ۱۴۴، برابر ۸۶۴، همان ۴۸ ضرب در ۱۸ است. این رابطه راه سریعی برای ک.م.م است: دو عدد را ضرب کنید و بر ب.م.م تقسیم کنید. برای ۱۰۷۱ و ۴۶۲، حاصل‌ضرب ۴۹۴٬۸۰۲ است و تقسیم آن بر ۲۱، ک.م.م را ۲۳٬۵۶۲ می‌دهد.
این رابطه فقط برای دو عدد برقرار است. برای ۴۸ و ۱۸ و ۳۰، حاصل‌ضرب سه عدد ۲۵٬۹۲۰ است، اما ب.م.م ضرب در ک.م.م، ۶ ضرب در ۷۲۰، یعنی ۴۳۲۰ است. پس برای سه عدد یا بیشتر، از روش پشت سر هم استفاده کنید که ابزار هم به کار می‌برد.
کاربرد در کسرها
مهم‌ترین کاربرد درسی ب.م.م و ک.م.م، کار با کسرهاست. برای ساده کردن کسر، صورت و مخرج را بر ب.م.م آنها تقسیم می‌کنیم. کسر ۸۴ بر ۳۶، ب.م.م ۱۲ دارد و پس از تقسیم، هفت‌سوم میشود که ساده‌ترین شکل آن است. برای جمع و تفریق کسرها، به مخرج مشترک نیاز داریم و کوچکترین مخرج مشترک، ک.م.م مخرج‌هاست. یکچهارم به علاوهٔ یکششم، با ک.م.م ۱۲، میشود سه‌دوازدهم به علاوهٔ دودوازدهم، یعنی پنجدوازدهم.
میشود از حاصل‌ضرب مخرجها هم به عنوان مخرج مشترک استفاده کرد؛ اینجا ۲۴. اما عددها بزرگتر می‌شوند و در پایان باید کسر را ساده کنید. با ک.م.م، از همان ابتدا با کوچکترین عددها کار می‌کنید. ماشین حساب کسر این مراحل را خودکار انجام می‌دهد و نتیجه را ساده‌شده نشان می‌دهد.
کاشی‌کاری؛ نمونهٔ ب.م.م
فرض کنید کف اتاقی ۳٫۶ در ۴٫۸ متر را می‌خواهید با کاشی‌های مربعی یک‌اندازه بپوشانید، بدون اینکه کاشی را ببرید. بزرگترین کاشی ممکن چقدر است؟ ابعاد را به سانتی‌متر بنویسید: ۳۶۰ و ۴۸۰. ب.م.م این دو، ۱۲۰ است؛ پس بزرگترین کاشی مربعی، ۱۲۰ در ۱۲۰ سانتی‌متر است و کف با ۳ ردیف ۴ تایی، یعنی ۱۲ کاشی، پوشیده میشود. هر کاشی کوچک‌تری که ضلعش مقسوم‌علیه ۱۲۰ باشد، مثل ۶۰ یا ۴۰ یا ۳۰ سانتی‌متر، هم بدون برش جا میشود.
در عمل، کاشی‌های ۱۲۰ سانتی‌متری کمتر رایج‌اند و درزهای میان کاشی‌ها هم کمی فضا می‌گیرند. اما همین منطق برای انتخاب اندازهٔ کاشی، طراحی کابینت و تقسیم پارچه به تکه‌های برابر کار میکند. برای محاسبهٔ مساحت و محیط کف، محاسبهٔ مستطیل را ببینید.
اتوبوس و چراغ راهنما؛ نمونهٔ ک.م.م
دو خط اتوبوس از یک ایستگاه حرکت می‌کنند؛ یکی هر ۱۲ دقیقه و دیگری هر ۱۸ دقیقه. اگر ساعت ۷ صبح هر دو هم‌زمان حرکت کنند، دفعهٔ بعد کی هم‌زمان می‌شوند؟ ک.م.م ۱۲ و ۱۸، ۳۶ است؛ پس ساعت ۷:۳۶. همین منطق برای چراغ‌های راهنما با چرخه‌های متفاوت، دارو‌هایی با فاصله‌های متفاوت مصرف و چرخ‌دنده‌هایی با تعداد دندانه‌های متفاوت کار میکند. اگر دو چرخ‌دنده ۲۸ و ۳۰ دندانه داشته باشند، دندانه‌های اولیه پس از ۴۲۰ دندانه، یعنی ۱۵ دور چرخ کوچکتر و ۱۴ دور چرخ بزرگتر، دوباره کنار هم قرار می‌گیرند.
عددهای نسبت به هم اول
دو عدد را نسبت به هم اول یا متباین می‌گویند، وقتی ب.م.م آنها ۱ باشد. ۱۷ و ۳۰ نسبت به هم اولاند، اما ۸ و ۹ هم هستند، با اینکه هیچ‌کدام عدد اول نیست. ک.م.م دو عدد متباین، حاصل‌ضرب آن‌هاست؛ ک.م.م ۸ و ۹، ۷۲ است. کسری که صورت و مخرجش نسبت به هم اول باشند، ساده‌نشدنی است. در طراحی چرخ‌دنده، تعداد دندانه‌ها را اغلب نسبت به هم اول می‌گیرند تا هر دندانه با همهٔ دندانه‌های چرخ دیگر درگیر شود و سایش یکنواخت پخش شود.
عددهای بزرگ و برنامه‌نویسی
این ابزار با عددهای صحیح بزرگ کار میکند و محدودیتی برای تعداد رقم ندارد. می‌توانید عددهایی با ده‌ها یا صدها رقم وارد کنید و ب.م.م و ک.م.م را دقیق ببینید. برنامه‌نویسان برای بررسی پیاده‌سازی الگوریتم اقلیدس در برنامهٔ خود، می‌توانند خروجی را با این ابزار مقایسه کنند. الگوریتم اقلیدس در رمزنگاری هم نقش مهمی دارد؛ نسخهٔ گسترش‌یافتهٔ آن، برای ساختن کلیدها در روش‌های رمزنگاری کلید عمومی به کار می‌رود.
چرا الگوریتم اقلیدس درست کار میکند؟
دلیل درستی الگوریتم اقلیدس، یک مشاهدهٔ ساده است. اگر عددی هم ۴۸ و هم ۱۸ را بشمارد، تفاضل آنها را هم میشمارد؛ چون اگر ۴۸ برابر چند تا از آن عدد و ۱۸ هم برابر چند تا از آن باشد، تفاضلشان هم برابر چند تا از همان عدد است. پس هر مقسوم‌علیه مشترک ۴۸ و ۱۸، مقسوم‌علیه ۳۰ هم هست؛ و با کم کردن دوبارهٔ ۱۸، مقسوم‌علیه ۱۲. برعکس هم درست است: هر مقسوم‌علیه مشترک ۱۸ و ۱۲، مقسوم‌علیه ۴۸ هم هست. پس مقسوم‌علیه‌های مشترک ۴۸ و ۱۸، دقیقا همان مقسوم‌علیه‌های مشترک ۱۸ و ۱۲ هستند و ب.م.م آنها هم یکی است.
تقسیم با باقیمانده، همان کم کردن پیاپی است که یک‌جا انجام میشود. ۴۸ تقسیم بر ۱۸، باقیماندهٔ ۱۲ دارد، که همان چیزی است که پس از دو بار کم کردن ۱۸ از ۴۸ می‌ماند. با هر قدم، عددها کوچکتر می‌شوند و چون عددهای صحیح مثبت نمی‌توانند بی‌پایان کوچک شوند، الگوریتم حتما به صفر می‌رسد. سرعت آن هم شگفت‌انگیز است: تعداد قدم‌ها هیچ‌وقت از حدود پنج برابر تعداد رقم‌های عدد کوچکتر بیشتر نمی‌شود.
نمایش هندسی ب.م.م
الگوریتم اقلیدس را میشود روی کاغذ شطرنجی هم دید. مستطیلی ۴۸ در ۱۸ بکشید. از آن، بزرگترین مربع‌های ممکن، یعنی مربع‌های ۱۸ در ۱۸، را جدا کنید؛ دو مربع جا میشود و مستطیلی ۱۸ در ۱۲ می‌ماند. از آن یک مربع ۱۲ در ۱۲ جدا کنید؛ مستطیلی ۱۲ در ۶ می‌ماند. از این، دو مربع ۶ در ۶ جدا میشود و چیزی نمی‌ماند. ضلع آخرین مربع، ۶، همان ب.م.م است. این تصویر برای دانش‌آموزانی که با تصویر بهتر یاد می‌گیرند، الگوریتم را از یک دستور خشک به یک بازی ساده تبدیل میکند و همان مسئلهٔ کاشی‌کاری را از زاویه‌ای دیگر نشان می‌دهد.
ب.م.م و ک.م.م در امتحان
در امتحان‌های پایانی و مسابقه‌ها، سؤال‌های ب.م.م و ک.م.م اغلب به شکل مسئلهٔ کلامی می‌آیند. نشانه‌های ب.م.م در متن سؤال، واژه‌هایی مثل بزرگترین، بیشترین تعداد گروه برابر، تقسیم بدون اضافه یا برش است. نشانه‌های ک.م.م، واژه‌هایی مثل کمترین، دوباره با هم، هم‌زمان یا اولین بار است. پس از حل، جواب را با این قاعده بسنجید: ب.م.م هرگز از کوچکترین عدد بزرگتر نیست و ک.م.م هرگز از بزرگترین عدد کوچکتر نیست.
یک نوع سؤال رایج دیگر، این است که ب.م.م و ک.م.م دو عدد داده شده و یکی از عددها را می‌خواهند. با رابطهٔ ضرب، حل آن ساده است: اگر ب.م.م ۶ و ک.م.م ۱۴۴ باشد و یکی از عددها ۴۸، عدد دیگر ۶ ضرب در ۱۴۴ تقسیم بر ۴۸، یعنی ۱۸ است.
برنامه‌ریزی دوره‌ای در خانه و کار
ک.م.م در برنامه‌ریزی روزمره هم به کار می‌آید. اگر گلدانی را هر ۳ روز و گلدان دیگری را هر ۴ روز آب می‌دهید، هر ۱۲ روز یک بار هر دو را با هم آب می‌دهید. اگر یک دارو هر ۸ ساعت و داروی دیگری هر ۱۲ ساعت مصرف میشود، هر ۲۴ ساعت یک بار دو نوبت هم‌زمان می‌شوند؛ دانستن این زمان، به برنامه‌ریزی یادآورها کمک میکند، اما فاصلهٔ مصرف داروها را همیشه از پزشک بپرسید. در کسب‌وکار، اگر یک گزارش هر ۶ هفته و گزارش دیگری هر ۱۰ هفته آماده میشود، هر ۳۰ هفته هر دو در یک هفته روی میز می‌آیند و بهتر است از قبل برایش وقت بگذارید. این عددها را در ابزار بنویسید تا ک.م.م را بی‌درنگ ببینید.
اشتباه‌های رایج
اشتباه اول، جابه‌جا گرفتن ب.م.م و ک.م.م است؛ اگر جواب ب.م.م شما از کوچکترین عدد بزرگتر شد، یا ک.م.م از بزرگترین عدد کوچکتر، جایی اشتباه کرده‌اید. اشتباه دوم، به کار بردن رابطهٔ ضرب برای سه عدد. اشتباه سوم، در روش تجزیه، برداشتن بیشترین توان برای ب.م.م یا کمترین توان برای ک.م.م. اشتباه چهارم، وارد کردن عددهای اعشاری؛ ب.م.م و ک.م.م برای عددهای صحیح تعریف شده‌اند. اگر با اعشار سر و کار دارید، مثل ۳٫۶ و ۴٫۸ متر، اول یکا را عوض کنید تا عددها صحیح شوند.
ابزارهای مرتبط
برای نسبت‌ها و ساده کردن آنها، محاسبهٔ نسبت و برای حل معادله‌هایی که پس از حذف مخرج مشترک ساده می‌شوند، حل معادلهٔ درجه یک را ببینید. بقیهٔ ابزارها در ابزارهای ریاضی آمده‌اند.
آخرین بازبینی محتوا: · تیم تحریریه ابزار جیبی