حل معادله درجه یک

راهنمای استفاده از حل معادله درجه یک

1. نوع مسئله را انتخاب کنید (یک مجهولی یا دستگاه دو مجهولی).
2. ضرایب را وارد کنید.
3. جواب و مراحل حل نمایش داده می‌شود.

حل معادله درجه یک؛ دو قدم ساده

معادلهٔ درجه یک، معادله‌ای است که مجهول در آن فقط به توان یک آمده است؛ نه x به توان دو، نه جذر x و نه x در مخرج. شکل کلی آن ax + b = c است که a ضریب مجهول و b و c عددهای ثابت‌اند. حل آن دو قدم دارد. اول، عدد ثابت سمت مجهول را به طرف دیگر می‌بریم؛ یعنی b را از دو طرف کم می‌کنیم. دوم، دو طرف را بر ضریب مجهول تقسیم می‌کنیم. نتیجه، فرمول x برابر c منهای b، تقسیم بر a است.

در نمونهٔ پیش‌فرض ابزار، ۳x + ۵ = ۲۰ است. قدم اول: ۵ را از دو طرف کم می‌کنیم و ۳x = ۱۵ می‌شود. قدم دوم: دو طرف را بر ۳ تقسیم می‌کنیم و x = ۵ به دست می‌آید. ابزار همین چهار خط را در مراحل حل می‌نویسد. برای بررسی، ۵ را در معادلهٔ اصلی می‌گذاریم: ۳ ضرب در ۵ به علاوهٔ ۵، برابر ۲۰ است. پس جواب درست است. این بررسی آخر، عادتی است که در امتحان، بسیاری از اشتباه‌های محاسباتی را پیدا می‌کند.

وقتی مجهول در دو طرف تساوی است

ابزار معادله را به شکل ax + b = c می‌پذیرد، اما در بسیاری از مسئله‌ها، مجهول در دو طرف تساوی آمده است؛ مثلا ۵x − ۳ = ۲x + ۹. پیش از وارد کردن، همهٔ جمله‌های مجهول را به یک طرف ببرید. اینجا ۲x را از دو طرف کم می‌کنیم: ۳x − ۳ = ۹. حالا a برابر ۳، b برابر منفی ۳ و c برابر ۹ است و ابزار x = ۴ را می‌دهد. بررسی: ۵ ضرب در ۴ منهای ۳ برابر ۱۷ است و ۲ ضرب در ۴ به علاوهٔ ۹ هم ۱۷.

اگر معادله پرانتز دارد، اول پرانتزها را باز کنید. ۲(x + ۴) = ۲۶، پس از باز کردن پرانتز ۲x + ۸ = ۲۶ می‌شود و جواب ۹ است. اگر معادله کسر دارد، دو طرف را در مخرج مشترک ضرب کنید تا کسرها حذف شوند؛ x تقسیم بر ۳ به علاوهٔ ۲ برابر ۷، پس از ضرب در ۳ می‌شود x + ۶ = ۲۱ و جواب ۱۵ است. برای پیدا کردن مخرج مشترک، ب.م.م و ک.م.م کمک می‌کند. می‌توانید ضریب کسری را هم مستقیم به شکل اعشاری وارد کنید، اما عددهایی مثل یک‌سوم در اعشار دقیق نیستند و بهتر است کسرها را پیش از وارد کردن حذف کنید.

وقتی ضریب x صفر است

اگر a صفر باشد، x از معادله حذف می‌شود و دیگر معادلهٔ درجه یکی در کار نیست. دو حالت پیش می‌آید. اگر b و c برابر باشند، مثل ۰x + ۵ = ۵، تساوی برای هر x برقرار است و ابزار می‌نویسد بی‌شمار جواب. اگر برابر نباشند، مثل ۰x + ۳ = ۵، هیچ x‌ای تساوی را برقرار نمی‌کند و ابزار می‌نویسد جواب ندارد. این حالت‌ها در مسئله‌های درسی گاهی عمدا طراحی می‌شوند؛ مثلا وقتی پس از ساده کردن یک معادلهٔ ظاهرا عادی، جمله‌های x همدیگر را خنثی می‌کنند.

دستگاه دو معادلهٔ دو مجهولی

وقتی دو مجهول داریم، یک معادله کافی نیست؛ به دو معادلهٔ مستقل نیاز داریم. در حالت دوم ابزار، دو معادله به شکل a₁x + b₁y = c₁ و a₂x + b₂y = c₂ را وارد می‌کنید. نمونهٔ پیش‌فرض، ۲x + ۳y = ۱۳ و x − y = −۱ است. ابزار جواب x = ۲ و y = ۳ را می‌دهد و مراحل حل را با روش کرامر نشان می‌دهد. بررسی: ۲ ضرب در ۲ به علاوهٔ ۳ ضرب در ۳ برابر ۱۳ است و ۲ منهای ۳ برابر منفی ۱. هر دو معادله برقرارند.

ضریب‌هایی که در معادله نیستند، صفرند. اگر معادله‌ای فقط x دارد، مثل ۳x = ۱۲، ضریب y را صفر بنویسید. ضریبی که نوشته نشده، مثل x در x − y = −۱، یک است و علامت منفی پیش از y یعنی ضریب منفی یک. بیشتر اشتباه‌ها در این حالت، از فراموش کردن همین علامت‌ها می‌آید.

روش کرامر؛ حل با دترمینان

روش کرامر که ابزار برای دستگاه به کار می‌برد، با سه دترمینان کار می‌کند. دترمینان اصلی D، از ضریب‌های x و y ساخته می‌شود: a₁ ضرب در b₂ منهای a₂ ضرب در b₁. برای Dx، ستون ضریب‌های x را با عددهای سمت راست جایگزین می‌کنیم و برای Dy، ستون ضریب‌های y را. جواب‌ها، Dx تقسیم بر D و Dy تقسیم بر D هستند. در نمونهٔ پیش‌فرض، D برابر ۲ ضرب در منفی ۱ منهای ۱ ضرب در ۳، یعنی منفی ۵ است. Dx برابر منفی ۱۰ و Dy برابر منفی ۱۵ است؛ پس x برابر ۲ و y برابر ۳.

روش کرامر برای دستگاه دو یا سه معادله سریع و منظم است و به همین دلیل در ماشین حساب‌ها به کار می‌رود. در کتاب‌های درسی دورهٔ متوسطه، معمولا روش حذفی و روش جایگزینی آموزش داده می‌شوند. هر سه روش به یک جواب می‌رسند؛ پس می‌توانید جواب ابزار را با روشی که در کلاس یاد گرفته‌اید، بررسی کنید.

روش حذفی و جایگزینی؛ همان نمونه با روش کتاب

در روش حذفی، یکی از معادله‌ها را در عددی ضرب می‌کنیم تا ضریب یکی از مجهول‌ها در دو معادله قرینه شود و با جمع کردن دو معادله، آن مجهول حذف شود. در نمونهٔ ما، معادلهٔ دوم را در ۳ ضرب می‌کنیم: ۳x − ۳y = −۳. حالا آن را با معادلهٔ اول جمع می‌کنیم: ۵x = ۱۰، پس x = ۲. با گذاشتن x در معادلهٔ دوم، ۲ − y = −۱ و y = ۳.

در روش جایگزینی، یکی از مجهول‌ها را از یک معادله بر حسب دیگری می‌نویسیم و در معادلهٔ دیگر می‌گذاریم. از معادلهٔ دوم، x = y − ۱. با گذاشتن آن در معادلهٔ اول: ۲(y − ۱) + ۳y = ۱۳، یعنی ۵y − ۲ = ۱۳ و y = ۳. بعد x = ۳ − ۱ = ۲. روش جایگزینی وقتی ساده‌تر است که ضریب یکی از مجهول‌ها یک یا منفی یک باشد، مثل همین نمونه.

وقتی دترمینان صفر است؛ خطوط موازی و منطبق

هر معادلهٔ دو مجهولی درجه یک، در صفحهٔ مختصات یک خط است و جواب دستگاه، نقطهٔ برخورد دو خط. اگر دترمینان صفر نباشد، دو خط در یک نقطه همدیگر را قطع می‌کنند و دستگاه یک جواب دارد. اگر دترمینان صفر باشد، دو خط شیب یکسانی دارند و دو حالت پیش می‌آید: یا موازی‌اند و هیچ‌وقت به هم نمی‌رسند، که دستگاه جواب ندارد؛ یا روی هم افتاده‌اند و همهٔ نقطه‌هایشان مشترک است، که دستگاه بی‌شمار جواب دارد.

برای نمونه، x + y = ۳ و ۲x + ۲y = ۸ موازی‌اند؛ معادلهٔ دوم پس از تقسیم بر ۲ می‌شود x + y = ۴ که با x + y = ۳ هم‌زمان برقرار نمی‌شود. اما x + y = ۳ و ۲x + ۲y = ۶ یک خط‌اند و هر دو عددی که جمعشان ۳ باشد، جواب است. ابزار در هر دو حالت، دترمینان صفر را نشان می‌دهد و نوع آن را می‌نویسد.

ساختن معادله از مسئلهٔ کلامی

سخت‌ترین بخش برای بیشتر دانش‌آموزان، حل معادله نیست؛ ساختن آن از متن مسئله است. یک روش منظم کمک می‌کند. اول، مشخص کنید چه چیزی را نمی‌دانید و برایش نام بگذارید؛ مثلا قیمت هر کیلو سیب را x بنامید. دوم، هر جمله‌ای از متن را که رابطه‌ای عددی می‌گوید، به زبان ریاضی بنویسید. سوم، معادله را حل کنید. چهارم، جواب را در متن مسئله بگذارید و ببینید منطقی است یا نه؛ قیمت منفی یا تعداد اعشاری آدم، نشانهٔ اشتباه در ساختن معادله است.

نمونهٔ دستگاه پیش‌فرض ابزار را می‌شود این‌طور خواند: دو کیلو سیب و سه کیلو پرتقال، روی هم ۱٫۳ میلیون تومان شده است و هر کیلو سیب، ۱۰۰ هزار تومان از هر کیلو پرتقال ارزان‌تر است. اگر قیمت‌ها را به صد هزار تومان بنویسیم، معادله‌ها همان ۲x + ۳y = ۱۳ و x − y = −۱ هستند و جواب نشان می‌دهد هر کیلو سیب ۲۰۰ هزار و هر کیلو پرتقال ۳۰۰ هزار تومان است.

نمونهٔ روزمره؛ مقایسهٔ دو تعرفه

فرض کنید دو بستهٔ تلفن همراه دارید. بستهٔ اول، ماهانه ۵۰ هزار تومان ثابت و هر دقیقه مکالمه ۲۰۰ تومان است. بستهٔ دوم، ماهانه ۸۰ هزار تومان ثابت و هر دقیقه ۱۰۰ تومان. با چند دقیقه مکالمه، هزینهٔ دو بسته برابر می‌شود؟ هزینهٔ بستهٔ اول ۲۰۰x + ۵۰٬۰۰۰ و بستهٔ دوم ۱۰۰x + ۸۰٬۰۰۰ است. با برابر گذاشتن این دو و بردن ۱۰۰x به طرف چپ، ۱۰۰x + ۵۰٬۰۰۰ = ۸۰٬۰۰۰ به دست می‌آید که در ابزار، جواب x = ۳۰۰ دقیقه را می‌دهد.

یعنی اگر ماهانه کمتر از ۳۰۰ دقیقه حرف می‌زنید، بستهٔ اول ارزان‌تر است و اگر بیشتر، بستهٔ دوم. همین منطق برای مقایسهٔ هر دو تعرفه‌ای که هزینهٔ ثابت و هزینهٔ متغیر دارند کار می‌کند؛ از اجارهٔ خودرو با هزینهٔ روزانه و کیلومتری تا عضویت باشگاه با هزینهٔ ماهانه و جلسه‌ای. عددهای این نمونه فرضی‌اند؛ تعرفه‌های واقعی را از اپراتور خود بگیرید.

دقت جواب و عددهای اعشاری

ابزار جواب را تا ده رقم معنادار نمایش می‌دهد و صفرهای اضافه را حذف می‌کند. اگر جواب کسری مثل یک‌سوم باشد، به شکل ۰٫۳۳۳۳۳۳۳۳۳۳ نمایش داده می‌شود. برای دیدن جواب به شکل کسر، صورت و مخرج را جدا حساب کنید؛ در معادلهٔ یک مجهولی، جواب کسر c منهای b بر a است و می‌توانید آن را با ماشین حساب کسر ساده کنید. در دستگاه هم، جواب‌ها کسرهای Dx بر D و Dy بر D هستند که عددهایشان در مراحل حل آمده است.

معادلهٔ خط و نمودار

هر معادلهٔ درجه یک دو مجهولی را می‌شود به شکل y برابر mx به علاوهٔ h نوشت که m شیب خط و h عرض از مبدا است. معادلهٔ x − y = −۱ از نمونهٔ پیش‌فرض، همان y = x + ۱ است؛ خطی با شیب یک که محور y را در نقطهٔ ۱ قطع می‌کند. معادلهٔ ۲x + ۳y = ۱۳ هم پس از جدا کردن y، می‌شود y برابر منفی دوسوم x به علاوهٔ ۱۳ سوم. این دو خط در نقطهٔ (۲، ۳) به هم می‌رسند که همان جواب دستگاه است. کشیدن نمودار روی کاغذ شطرنجی، راه خوبی برای دیدن جواب است و نشان می‌دهد چرا دو خط با شیب یکسان، یا هیچ‌وقت به هم نمی‌رسند یا روی هم می‌افتند.

در مسئلهٔ دو تعرفه هم، هزینهٔ هر بسته یک خط است. خط بستهٔ اول از ۵۰ هزار شروع می‌شود و تندتر بالا می‌رود؛ خط بستهٔ دوم از ۸۰ هزار شروع می‌شود و آرام‌تر. نقطهٔ برخورد در ۳۰۰ دقیقه است و پس از آن، خط بستهٔ اول بالاتر است. این تصویر، تصمیم را از هر جدولی روشن‌تر می‌کند.

معادله در درس‌های دیگر

معادلهٔ درجه یک فقط مال درس ریاضی نیست. در فیزیک، رابطهٔ سرعت ثابت، مسافت برابر سرعت ضرب در زمان به علاوهٔ مکان اولیه، یک معادلهٔ درجه یک است؛ اگر جسمی از ۱۲ متری با سرعت ۴ متر بر ثانیه دور شود، برای رسیدن به ۶۰ متری، ۴t + ۱۲ = ۶۰ را حل می‌کنید و t برابر ۱۲ ثانیه است. در شیمی، تبدیل دمای سلسیوس به فارنهایت معادله‌ای درجه یک است. در اقتصاد خانواده، بودجهٔ ماهانه با درآمد ثابت و هزینه‌های متغیر. هر جا رابطه‌ای به شکل عدد ثابت به علاوهٔ مقدار ثابتی به ازای هر واحد دیدید، معادلهٔ درجه یک در کار است.

اشتباه‌های رایج

اشتباه اول، فراموش کردن علامت منفی هنگام بردن جمله به طرف دیگر است. اشتباه دوم، تقسیم فقط یک طرف بر ضریب، به جای هر دو طرف. اشتباه سوم، در دستگاه، جابه‌جا نوشتن ضریب‌های x و y در یکی از معادله‌ها. اشتباه چهارم، نوشتن معادله‌ای که مجهول در دو طرف دارد، بدون ساده کردن، در ابزاری که شکل ax + b = c را می‌خواهد. و اشتباه پنجم، بررسی نکردن جواب؛ جایگزین کردن جواب در معادلهٔ اصلی، کمتر از یک دقیقه وقت می‌گیرد و خیال را راحت می‌کند.

ابزارهای مرتبط

اگر مجهول به توان دو آمده است، حل معادلهٔ درجه دوم دلتا و ریشه‌ها را با مراحل حل نشان می‌دهد. برای مسئله‌های نسبت و تناسب، محاسبهٔ نسبت و برای محاسبه‌های عمومی، ماشین حساب آنلاین را ببینید. بقیهٔ ابزارها در ابزارهای ریاضی آمده‌اند.