محاسبه جذر و ریشهٔ n‌ام

راهنمای استفاده از محاسبه جذر و رادیکال

1. عدد را وارد کنید.
2. برای ریشهٔ دلخواه، فرجه (n) را تغییر دهید.
3. نتیجهٔ اعشاری و شکل سادهٔ رادیکال نمایش داده می‌شود.

محاسبه جذر؛ تعریف و نماد

جذر یک عدد، عددی نامنفی است که اگر در خودش ضرب شود، همان عدد را بدهد. جذر ۴۹، ۷ است، چون ۷ ضرب در ۷ برابر ۴۹ است. نماد جذر، رادیکال است و عدد زیر آن را زیر رادیکال می‌گویند. ریشهٔ سوم عددی است که سه بار در خودش ضرب شود تا آن عدد را بدهد؛ ریشهٔ سوم ۲۷، ۳ است. به طور کلی، ریشهٔ nام a، عددی است که به توان n برابر a شود. عدد n را فرجه می‌گویند و برای جذر، که فرجه‌اش ۲ است، معمولا نوشته نمی‌شود.

یک نکتهٔ تعریفی مهم: نماد رادیکال همیشه ریشهٔ نامنفی را نشان می‌دهد. جذر ۹ برابر ۳ است، نه منفی ۳. این با جواب معادلهٔ x به توان دو برابر ۹ فرق دارد که دو جواب ۳ و منفی ۳ دارد. در حل معادله، علامت به علاوه یا منها را خودمان پیش از رادیکال می‌گذاریم؛ همان کاری که در فرمول ریشه‌های معادلهٔ درجه دوم دیده می‌شود. این تمایز در امتحان‌ها زیاد پرسیده می‌شود.

ساده کردن رادیکال

در کتاب‌های درسی، معمولا جذر را به شکل اعشاری نمی‌خواهند، بلکه به شکل ساده‌شدهٔ رادیکال. برای ساده کردن، بزرگ‌ترین عدد مربع کاملی را پیدا می‌کنیم که عدد زیر رادیکال بر آن بخش‌پذیر است و جذر آن را بیرون می‌آوریم. ۷۲ بر ۳۶ بخش‌پذیر است و ۷۲ برابر ۳۶ ضرب در ۲ است؛ پس جذر ۷۲ برابر جذر ۳۶ ضرب در جذر ۲، یعنی ۶ رادیکال ۲ است. ۴۸ برابر ۱۶ ضرب در ۳ است؛ پس جذر ۴۸ برابر ۴ رادیکال ۳ است.

ابزار این کار را برای هر عدد صحیح مثبت کمتر از هزار میلیارد انجام می‌دهد و برای ریشه‌های بالاتر هم کار می‌کند: ریشهٔ سوم ۵۴ برابر ۳ ضرب در ریشهٔ سوم ۲ است، چون ۵۴ برابر ۲۷ ضرب در ۲ است. اگر عدد هیچ عامل مربع کاملی جز یک نداشته باشد، مثل ۳۰، ابزار می‌نویسد ساده‌تر نمی‌شود. اگر خود عدد مربع کامل باشد، مثل ۱۴۴، می‌نویسد عدد کامل است و جذر را به عدد صحیح نشان می‌دهد.

عدد مربع کامل

عدد مربع کامل، عددی صحیح است که جذرش هم عدد صحیح باشد؛ مثل ۱، ۴، ۹، ۱۶، ۲۵ و ۱۴۴. کاشی مربع کامل در ابزار، همین را بررسی می‌کند. شناختن مربع‌های کامل تا ۲۰ به توان ۲، یعنی ۴۰۰، کار با رادیکال و تخمین جذر را بسیار سریع می‌کند. یک نشانهٔ ساده: رقم یکان مربع کامل فقط می‌تواند ۰، ۱، ۴، ۵، ۶ یا ۹ باشد. پس عددی که به ۲، ۳، ۷ یا ۸ ختم می‌شود، هرگز مربع کامل نیست. این نشانه برعکس کار نمی‌کند؛ ۲۶ به ۶ ختم می‌شود اما مربع کامل نیست.

عددهای گنگ

جذر هر عدد صحیح که مربع کامل نباشد، عددی گنگ است؛ یعنی نمی‌شود آن را به شکل کسری از دو عدد صحیح نوشت و رقم‌های اعشاری‌اش بی‌پایان و بدون الگوی تکراری‌اند. جذر ۲، حدود ۱٫۴۱۴۲۱۳۵۶۲۳۷ است و هر قدر رقم‌های بیشتری حساب کنید، پایانی ندارد. اثبات گنگ بودن جذر ۲ از قدیمی‌ترین اثبات‌های ریاضی است و منسوب به فیثاغورسیان یونان است. ابزار جذر را تا دوازده رقم معنادار نشان می‌دهد که برای هر کاربرد عملی کافی است؛ اما به یاد داشته باشید که این عدد، تقریبی از مقدار واقعی است.

روش بابلی؛ جذر با دست

پیش از ماشین حساب، جذر را با روش‌هایی دستی حساب می‌کردند که یکی از قدیمی‌ترین و سریع‌ترین آن‌ها، روش بابلی است و امروز آن را حالت خاصی از روش نیوتن می‌دانند. یک حدس اولیه بزنید، عدد را بر حدس تقسیم کنید و میانگین حدس و حاصل تقسیم را حدس تازه بگیرید. اگر حدس از جذر واقعی بزرگ‌تر باشد، حاصل تقسیم کوچک‌تر است و برعکس؛ پس میانگین آن‌ها همیشه نزدیک‌تر است.

برای جذر ۷۲، حدس اول ۸ است. ۷۲ تقسیم بر ۸ برابر ۹ است و میانگین ۸ و ۹، ۸٫۵. قدم دوم: ۷۲ تقسیم بر ۸٫۵ حدود ۸٫۴۷۰۶ است و میانگین آن با ۸٫۵، حدود ۸٫۴۸۵۲۹. قدم سوم به ۸٫۴۸۵۲۸۱۳۷۴ می‌رسد که ده رقم درست دارد. هر قدم، تعداد رقم‌های درست را تقریبا دو برابر می‌کند. بسیاری از رایانه‌ها و ماشین حساب‌ها هنوز نسخه‌ای از همین روش را به کار می‌برند.

تخمین ذهنی جذر

برای تخمین سریع بدون ماشین حساب، دو مربع کامل نزدیک به عدد را پیدا کنید. جذر ۵۰ میان ۷ و ۸ است، چون ۴۹ و ۶۴ دو طرف آن‌اند. ۵۰ فقط یک واحد از ۴۹ بیشتر است و فاصلهٔ ۴۹ تا ۶۴، ۱۵ واحد؛ پس جذر ۵۰ حدود ۷ به علاوهٔ یک پانزدهم، یعنی حدود ۷٫۰۷ است. مقدار دقیق حدود ۷٫۰۷۱۱ است. این روش، که درون‌یابی خطی نام دارد، همیشه کمی کمتر از مقدار واقعی تخمین می‌زند، اما برای حساب ذهنی و بررسی پاسخ‌های تستی، دقت کافی دارد.

ریشهٔ سوم و ریشه‌های بالاتر

ریشهٔ سوم، برخلاف جذر، برای عددهای منفی هم عدد حقیقی دارد؛ چون عدد منفی به توان سه، منفی است. ریشهٔ سوم منفی ۲۷، منفی ۳ است. این قاعده برای همهٔ ریشه‌های فرد صادق است. ریشه‌های زوج عدد منفی، مثل جذر یا ریشهٔ چهارم، عدد حقیقی ندارند و ابزار برای آن‌ها پیام می‌دهد. کاربرد ریشهٔ سوم در حجم است: مکعبی با حجم ۱۰۰۰ سانتی‌متر مکعب، ضلعی برابر ریشهٔ سوم ۱۰۰۰، یعنی ۱۰ سانتی‌متر دارد.

ریشه‌های بالاتر در جاهای جالبی ظاهر می‌شوند. در موسیقی غربی، نسبت فرکانس دو نیم‌پردهٔ پشت سر هم در کوک معتدل، ریشهٔ دوازدهم ۲ است؛ حدود ۱٫۰۵۹۵. در مالی، میانگین رشد سالانه در n سال، ریشهٔ nام ضریب رشد کل منهای یک است. ریشهٔ nام همان توان یک تقسیم بر n است و می‌شود آن را با ماشین حساب توان هم حساب کرد.

جذر عدد منفی و عددهای موهومی

جذر عدد منفی در عددهای حقیقی تعریف نمی‌شود، چون هیچ عدد حقیقی‌ای به توان دو منفی نمی‌شود. ریاضیدانان برای حل این مشکل، یکهٔ موهومی i را تعریف کردند که مجذورش منفی یک است. با این تعریف، جذر منفی ۹ برابر ۳i است. ابزار برای عدد منفی، کاشی جذر را به همین شکل نشان می‌دهد. عددهای مختلط در برق، مخابرات و فیزیک کوانتوم کاربرد گسترده دارند؛ اما در درس‌های دبیرستان، معمولا گفته می‌شود جذر عدد منفی تعریف نشده است.

قضیهٔ فیثاغورس؛ رایج‌ترین کاربرد جذر

در مثلث قائم‌الزاویه، مجذور وتر برابر مجموع مجذورهای دو ضلع دیگر است؛ پس وتر، جذر این مجموع است. نردبانی به طول ۵ متر که پایه‌اش ۱٫۵ متر از دیوار فاصله دارد، تا ارتفاع جذر ۲۵ منهای ۲٫۲۵، یعنی جذر ۲۲٫۷۵ که حدود ۴٫۷۷ متر است، بالا می‌رود. قطر مربعی به ضلع ۱۰، جذر ۲۰۰ یعنی ۱۰ رادیکال ۲ است که حدود ۱۴٫۱۴ می‌شود. فاصلهٔ دو نقطه روی نقشه یا صفحهٔ مختصات هم با همین قضیه حساب می‌شود.

برای محاسبه‌های کامل مثلث، شامل زاویه‌ها و مساحت، محاسبهٔ مثلث را ببینید. برای قطر مستطیل، مثل قطر صفحهٔ تلویزیون یا گوشی، محاسبهٔ مستطیل همین کار را با یک قدم انجام می‌دهد.

جذر ۲ و کاغذ A4

یکی از جالب‌ترین کاربردهای جذر در زندگی روزمره، اندازهٔ کاغذهای سری A است. نسبت ضلع بلند به ضلع کوتاه این کاغذها، جذر ۲ است. کاغذ A4، ۲۱۰ در ۲۹۷ میلی‌متر است و ۲۹۷ تقسیم بر ۲۱۰، حدود ۱٫۴۱۴ می‌شود. ویژگی این نسبت این است که اگر کاغذ را از وسط ضلع بلند نصف کنید، دو کاغذ با همان نسبت به دست می‌آید؛ A4 نصف A3 است و A5 نصف A4. برای همین، بزرگ و کوچک کردن در دستگاه کپی، بدون حاشیهٔ خالی انجام می‌شود. ضریب بزرگ‌نمایی از A4 به A3، جذر ۲ یا حدود ۱۴۱ درصد است.

جذر در آمار

انحراف معیار، معیار اصلی پراکندگی داده‌ها، جذر واریانس است. واریانس از مجذور فاصله‌ها ساخته می‌شود و یکایش مجذور یکای داده است؛ جذر گرفتن، یکا را به یکای داده برمی‌گرداند تا قابل تفسیر شود. همچنین، خطای میانگین با جذر تعداد نمونه کم می‌شود؛ برای نصف کردن خطا، چهار برابر نمونه لازم است، نه دو برابر. برای محاسبهٔ انحراف معیار، محاسبهٔ میانگین را ببینید.

گویا کردن مخرج

در کتاب‌های درسی، معمولا رادیکال را در مخرج کسر نگه نمی‌دارند. یک تقسیم بر جذر ۲ را با ضرب صورت و مخرج در جذر ۲، به جذر ۲ تقسیم بر ۲ تبدیل می‌کنند؛ هر دو حدود ۰٫۷۰۷۱ هستند. این کار، که گویا کردن مخرج نام دارد، مقدار کسر را تغییر نمی‌دهد و فقط شکل آن را استاندارد می‌کند. پیش از ماشین حساب، تقسیم جذر ۲ بر ۲ با دست بسیار ساده‌تر از تقسیم یک بر ۱٫۴۱۴ بود و این دلیل تاریخی این قرارداد است.

جذر در ساختمان و کارهای فنی

در کارهای ساختمانی و فنی، جذر بیش از آنچه فکر می‌کنیم به کار می‌رود. بنّاها برای بررسی قائمه بودن گوشهٔ دیوار، از قاعدهٔ ۳ و ۴ و ۵ استفاده می‌کنند: اگر روی یک دیوار ۳ متر و روی دیوار دیگر ۴ متر از گوشه جدا کنید، فاصلهٔ دو نشانه باید دقیقا ۵ متر باشد، چون جذر ۹ به علاوهٔ ۱۶ برابر ۵ است. اگر کمتر یا بیشتر بود، گوشه قائمه نیست. برای پله، طول تیر مورب از جذر مجموع مجذورهای ارتفاع و طول افقی به دست می‌آید. برای سقف شیروانی هم، طول تیرهای شیب‌دار با همین روش حساب می‌شود.

در برق، توان مؤثر جریان متناوب با جذر حساب می‌شود و ولتاژ اوج برق شهری، حدود جذر ۲ برابر ولتاژ مؤثر آن است. در صوت و تصویر، رابطهٔ اندازه و فاصله با جذر بیان می‌شود. در عکاسی، عددهای دیافراگم مثل ۱٫۴، ۲، ۲٫۸، ۴ و ۵٫۶، توان‌های جذر ۲ هستند؛ هر قدم، مساحت دهانهٔ عدسی را نصف می‌کند و نور رسیده به حسگر را نصف.

جذر و مساحت؛ از متر مربع به ضلع

یکی از کاربردهای روزمرهٔ جذر، تبدیل مساحت به طول است. اگر زمینی مربع‌شکل ۴۰۰ متر مربع مساحت دارد، هر ضلع آن جذر ۴۰۰، یعنی ۲۰ متر است. اگر آپارتمانی ۸۰ متری داشته باشید و بخواهید تصویری ذهنی از آن بسازید، مربعی با ضلع جذر ۸۰، یعنی حدود ۸٫۹۴ متر، همان مساحت را دارد. این تبدیل نشان می‌دهد چرا دو برابر شدن مساحت، ضلع را دو برابر نمی‌کند: مربعی با مساحت دو برابر، ضلعی جذر ۲ برابر، یعنی حدود ۴۱ درصد بلندتر دارد. برای محاسبهٔ مساحت و ضلع و قطر مربع، محاسبهٔ مربع ساخته شده است.

جذر عددهای اعشاری و کوچک‌تر از یک

جذر عددهای میان صفر و یک، از خود عدد بزرگ‌تر است؛ چیزی که بسیاری را شگفت‌زده می‌کند. جذر ۰٫۲۵ برابر ۰٫۵ است، چون ۰٫۵ ضرب در ۰٫۵ برابر ۰٫۲۵ است. دلیلش این است که ضرب دو عدد کوچک‌تر از یک، عدد کوچک‌تری می‌سازد؛ پس برای رسیدن به ۰٫۲۵ از ضرب یک عدد در خودش، آن عدد باید از ۰٫۲۵ بزرگ‌تر باشد. برای جذر عددهای اعشاری با دست، اعشار را با توان‌های ۱۰۰ جابه‌جا کنید: جذر ۰٫۰۹ برابر جذر ۹ تقسیم بر جذر ۱۰۰، یعنی ۰٫۳ است. ابزار عددهای اعشاری را مستقیم می‌پذیرد و این حساب را خودش انجام می‌دهد. ممیز را هم می‌توانید با نقطه یا ممیز فارسی بنویسید؛ هر دو درست خوانده می‌شوند.

اشتباه‌های رایج

اشتباه اول، پخش کردن جذر روی جمع است؛ جذر ۹ به علاوهٔ ۱۶ برابر ۵ است، نه ۳ به علاوهٔ ۴ که ۷ می‌شود. جذر روی ضرب پخش می‌شود، اما روی جمع نه. اشتباه دوم، دو جوابی دانستن نماد رادیکال. اشتباه سوم، ساده کردن ناقص؛ جذر ۷۲ را ۲ رادیکال ۱۸ نوشتن، که هنوز ساده‌تر می‌شود. اشتباه چهارم، تعریف‌نشده دانستن ریشهٔ سوم عدد منفی.

ابزارهای مرتبط

برای عبارت‌های ترکیبی با جذر و توان، ماشین حساب آنلاین و برای تجزیهٔ عدد به عامل‌های اول، که پایهٔ ساده کردن رادیکال است، تشخیص عدد اول را ببینید. بقیهٔ ابزارها در ابزارهای ریاضی آمده‌اند.