محاسبه توان

راهنمای استفاده از محاسبه توان

1. پایه (a) را وارد کنید.
2. توان (b) را وارد کنید؛ می‌تواند منفی یا اعشاری باشد.
3. نتیجه و نمایش علمی آن را ببینید.

محاسبه توان؛ ضرب تکراری

توان، کوتاه‌نویسی ضرب تکراری است. ۳ به توان ۴ یعنی ۳ ضرب در ۳ ضرب در ۳ ضرب در ۳ که ۸۱ است. عدد ۳ پایه نام دارد و ۴ نما یا توان. در ماشین حساب‌ها و برنامه‌نویسی، توان را معمولا با علامت ^ یا دو ستاره می‌نویسند؛ مثل 3^4. توان دو را مجذور یا مربع و توان سه را مکعب هم می‌گویند، چون مساحت مربعی به ضلع a برابر a به توان دو و حجم مکعبی به ضلع a برابر a به توان سه است.

با توان‌های بزرگ، ضرب تکراری خیلی زود عددهای عظیم می‌سازد. ۲ به توان ۱۰ برابر ۱۰۲۴ است، ۲ به توان ۳۲ بیش از چهار میلیارد و ۲ به توان ۱۰۰ عددی ۳۱ رقمی. ماشین حساب‌های معمولی از حدود ۱۶ رقم به بعد، رقم‌های آخر را گرد می‌کنند. این ابزار برای پایه و توان صحیح، با عددهای صحیح بزرگ کار می‌کند و همهٔ رقم‌ها را دقیق نگه می‌دارد. سقف این محاسبهٔ دقیق، حاصلی با حدود بیست هزار رقم است؛ برای عددهای بزرگ‌تر، ابزار به محاسبهٔ عددی معمولی برمی‌گردد.

افسانهٔ صفحهٔ شطرنج؛ ۲ به توان ۶۴

نمونهٔ پیش‌فرض ابزار، از افسانه‌ای قدیمی می‌آید که به شکل‌های گوناگون نقل شده است. مخترع شطرنج از پادشاه پاداشی ساده خواست: یک دانهٔ گندم در خانهٔ اول صفحه، دو دانه در خانهٔ دوم، چهار دانه در خانهٔ سوم و همین‌طور هر خانه دو برابر خانهٔ قبل، تا خانهٔ شصت‌وچهارم. پادشاه خندید و پذیرفت، اما معلوم شد گندم همهٔ جهان کافی نیست.

خانهٔ آخر، ۲ به توان ۶۳ دانه دارد و مجموع همهٔ خانه‌ها، ۲ به توان ۶۴ منهای یک است؛ یعنی ۱۸٬۴۴۶٬۷۴۴٬۰۷۳٬۷۰۹٬۵۵۱٬۶۱۵ دانه. اگر هر دانه را چند صدم گرم بگیریم، وزن این گندم صدها برابر تولید سالانهٔ امروز گندم در کل جهان می‌شود. درس این افسانه، شهودی است که در بسیاری از جاها به کار می‌آید: دو برابر شدن‌های پیاپی، از هر حدس اولیه‌ای سریع‌تر رشد می‌کنند. همین عدد ۲ به توان ۶۴ در رایانه هم مهم است؛ تعداد مقدارهایی است که یک عدد ۶۴ بیتی می‌تواند داشته باشد.

قوانین توان

چند قانون ساده، کار با توان‌ها را آسان می‌کنند. وقتی دو توان با پایهٔ یکسان را ضرب می‌کنیم، نماها جمع می‌شوند: ۲ به توان ۳ ضرب در ۲ به توان ۴، برابر ۲ به توان ۷ یعنی ۱۲۸ است. وقتی تقسیم می‌کنیم، نماها از هم کم می‌شوند. توانِ یک توان، نماها را در هم ضرب می‌کند: ۳ به توان ۲، به توان ۳، برابر ۳ به توان ۶ یعنی ۷۲۹ است. توان حاصل‌ضرب هم برابر حاصل‌ضرب توان‌هاست: ۲ ضرب در ۵، به توان ۳، برابر ۸ ضرب در ۱۲۵ یعنی ۱۰۰۰ است.

یک اشتباه رایج، به کار بردن این قوانین برای جمع است. ۲ به توان ۳ به علاوهٔ ۲ به توان ۴، برابر ۲ به توان ۷ نیست؛ ۸ به علاوهٔ ۱۶ برابر ۲۴ است، نه ۱۲۸. اشتباه رایج دیگر، پخش کردن توان روی جمع است: ۲ به علاوهٔ ۳، به توان ۲، برابر ۲۵ است، نه ۴ به علاوهٔ ۹ که ۱۳ می‌شود. هر وقت تردید داشتید، عددها را در ابزار وارد کنید و دو طرف را جدا حساب کنید.

توان صفر و صفر به توان صفر

هر عدد ناصفر به توان صفر، یک است. ساده‌ترین توضیح، الگوی کم شدن توان است: ۲ به توان ۳ برابر ۸، به توان ۲ برابر ۴ و به توان ۱ برابر ۲ است. هر بار که توان یک واحد کم می‌شود، حاصل نصف می‌شود؛ پس قدم بعد، ۲ به توان صفر، باید ۱ باشد. این تعریف قانون ضرب توان‌ها را هم حفظ می‌کند: ۲ به توان ۳ ضرب در ۲ به توان صفر، باید ۲ به توان ۳ بماند.

صفر به توان صفر، حالتی خاص است. در جبر، ترکیبیات و بیشتر زبان‌های برنامه‌نویسی، آن را یک در نظر می‌گیرند، چون فرمول‌ها با این قرارداد ساده‌تر می‌شوند؛ این ابزار هم یک نشان می‌دهد. اما در حسابان، وقتی پایه و توان هر دو به صفر نزدیک می‌شوند، حاصل ممکن است به عددهای مختلفی برسد و برای همین آن را مبهم می‌شمارند. اگر در تکلیف درسی با این عبارت روبه‌رو شدید، ببینید کتاب شما کدام قرارداد را پذیرفته است.

توان منفی؛ وارون توان مثبت

توان منفی یعنی وارون توان مثبت. ۲ به توان منفی ۳، برابر یک تقسیم بر ۲ به توان ۳، یعنی یک‌هشتم یا ۰٫۱۲۵ است. ۵ به توان منفی ۲، یک تقسیم بر ۲۵، یعنی ۰٫۰۴. حاصل توان منفی هر عدد بزرگ‌تر از یک، همیشه میان صفر و یک است و هرچه توان منفی‌تر، به صفر نزدیک‌تر. توان‌های منفی ۱۰، پایهٔ پیشوندهای یکاها هستند: ده به توان منفی ۳ یعنی میلی، ده به توان منفی ۶ میکرو و ده به توان منفی ۹ نانو. یک میلی‌متر، ده به توان منفی ۳ متر است.

توان کسری؛ پل میان توان و ریشه

توان کسری، همان ریشه است. a به توان یک‌دوم، جذر a است و a به توان یک‌سوم، ریشهٔ سوم آن. ۹ به توان ۰٫۵ برابر ۳ و ۸ به توان یک‌سوم برابر ۲ است. توان کسری کلی‌تر هم ترکیب ریشه و توان است: ۸ به توان دوسوم، یعنی ریشهٔ سوم ۸ به توان ۲، که ۴ می‌شود. در ابزار، توان کسری را به شکل اعشاری بنویسید؛ برای یک‌سوم، ۰٫۳۳۳۳۳۳ دقیق نیست و حاصل کمی با مقدار درست فرق می‌کند. برای ریشه‌های دقیق، ماشین حساب جذر ریشه را مستقیم حساب می‌کند.

توان کسری عدد منفی، حالت خاصی است. منفی ۸ به توان یک‌سوم، از نظر ریاضی ریشهٔ سوم منفی ۸، یعنی منفی ۲ است. اما محاسبهٔ عددی عمومی، توان کسری را برای پایهٔ منفی تعریف نمی‌کند، چون بیشتر توان‌های کسری پایهٔ منفی، مثل منفی ۸ به توان یک‌دوم، عدد حقیقی نیستند. برای همین، این ابزار در چنین حالتی پیام می‌دهد که نتیجه عدد حقیقی نیست. ابزار جذر و ریشه، ریشه‌های فرد عدد منفی را درست حساب می‌کند.

پایهٔ منفی و توان صحیح

برای پایهٔ منفی و توان صحیح، قاعده ساده است: توان زوج حاصل مثبت و توان فرد حاصل منفی می‌دهد. منفی ۲ به توان ۳ برابر منفی ۸ و منفی ۲ به توان ۴ برابر ۱۶ است. این ابزار پایهٔ منفی را هم با همهٔ رقم‌ها حساب می‌کند. فقط دقت کنید که در نوشتن دستی و در ماشین حساب‌های علمی، منفی ۲ به توان ۴ بدون پرانتز، معمولا منفی ۱۶ خوانده می‌شود، چون توان پیش از علامت منفی حساب می‌شود. در این ابزار، پایه و توان در دو کادر جدا هستند و این ابهام پیش نمی‌آید.

نماد علمی؛ عددهای بسیار بزرگ و کوچک

نماد علمی، روش نوشتن عددهای بسیار بزرگ یا کوچک به شکل یک عدد میان ۱ و ۱۰، ضرب در توانی از ۱۰ است. ۲ به توان ۶۴ در نماد علمی، حدود ۱٫۸۴۴۶۷ ضرب در ده به توان ۱۹ است. ابزار این شکل را در کاشی جداگانه نشان می‌دهد و آن را با حرف e می‌نویسد، که در ماشین حساب‌ها و برنامه‌نویسی رایج است؛ 1.84467e+19 یعنی همان عدد. توان ده در نماد علمی، یکی کمتر از تعداد رقم‌های عدد است؛ پس با یک نگاه می‌فهمید عدد چند رقمی است.

رشد نمایی؛ تا کردن کاغذ و یک درصد در روز

رشد نمایی، رشدی است که در آن، مقدار در هر قدم در عدد ثابتی ضرب می‌شود. معروف‌ترین نمونهٔ آن، تا کردن کاغذ است. کاغذی به ضخامت ۰٫۱ میلی‌متر، با هر تا، دو برابر ضخیم‌تر می‌شود. پس از ۴۲ بار تا، اگر ممکن بود، ضخامت آن ۰٫۱ میلی‌متر ضرب در ۲ به توان ۴۲، یعنی حدود ۴۴۰ هزار کیلومتر می‌شد؛ بیش از فاصلهٔ زمین تا ماه. در عمل، کاغذ معمولی را نمی‌شود بیش از چند بار تا کرد، اما این حساب نشان می‌دهد توان چه قدرتی دارد.

نمونهٔ دیگر، بهبود تدریجی است. اگر هر روز یک درصد بهتر شوید، پس از یک سال ضریب ۱٫۰۱ به توان ۳۶۵، یعنی حدود ۳۷٫۸ برابر خواهید بود. اگر هر روز یک درصد بدتر شوید، ۰٫۹۹ به توان ۳۶۵، یعنی حدود ۰٫۰۲۶، از توان اولیه‌تان می‌ماند. این عددها البته استعاره‌اند، اما ریاضی پشت آن‌ها، همان چیزی است که در سود مرکب، رشد جمعیت و تورم رخ می‌دهد. برای حساب‌های مالی با این منطق، محاسبهٔ سود مرکب ساخته شده است.

توان‌های ۲ در رایانه

رایانه‌ها با بیت کار می‌کنند و هر بیت دو حالت دارد؛ پس تعداد حالت‌های n بیت، ۲ به توان n است. یک بایت ۸ بیت است و ۲ به توان ۸، یعنی ۲۵۶ مقدار می‌گیرد. نشانی‌های اینترنتی نسخهٔ چهار ۳۲ بیتی‌اند و حدود ۴٫۳ میلیارد نشانی ممکن دارند؛ ۲ به توان ۳۲ برابر ۴٬۲۹۴٬۹۶۷٬۲۹۶ است. همین کمبود، دلیل ساخت نسخهٔ شش با ۱۲۸ بیت بود. یک کیلوبایت در معنای دودویی، ۲ به توان ۱۰ یعنی ۱۰۲۴ بایت است؛ برای تبدیل یکاهای حجم داده، تبدیل واحد حجم داده را ببینید.

حد محاسبه و بی‌نهایت

برای پایه و توان صحیح، ابزار تا حاصلی با حدود بیست هزار رقم را دقیق حساب می‌کند. برای توان‌های اعشاری یا منفی، و برای حاصل‌های بزرگ‌تر از این سقف، از محاسبهٔ عددی معمولی استفاده می‌شود که بزرگ‌ترین عددش حدود ۱٫۸ ضرب در ده به توان ۳۰۸ است. اگر حاصل از این بیشتر باشد، ابزار بی‌نهایت نشان می‌دهد و می‌نویسد که حاصل بزرگ‌تر از محدودهٔ محاسبه است. در این حالت، تعداد رقم‌ها را می‌شود با لگاریتم تخمین زد: تعداد رقم‌های a به توان b، جزء صحیح b ضرب در لگاریتم a در پایهٔ ده، به علاوهٔ یک است. ماشین حساب لگاریتم این کار را آسان می‌کند.

توان در علوم و یکاها

بسیاری از قانون‌های فیزیک و شیمی با توان بیان می‌شوند. مساحت با مجذور طول و حجم با مکعب آن رشد می‌کند؛ اگر ضلع یک مکعب دو برابر شود، مساحت هر وجه چهار برابر و حجم آن هشت برابر می‌شود. شدت نور و صدا با مجذور فاصله کم می‌شود؛ دو برابر دور شدن از یک چراغ، نور رسیده را یک‌چهارم می‌کند. انرژی جنبشی با مجذور سرعت رشد می‌کند؛ خودرویی که با سرعت ۱۰۰ کیلومتر بر ساعت حرکت می‌کند، چهار برابر خودرویی با سرعت ۵۰، انرژی دارد و برای ایستادن، به همان نسبت مسافت بیشتری لازم دارد. این آخری، دلیل ریاضی محدودیت سرعت در شهرهاست.

در یکاها، توان‌های ۱۰ همه جا هستند. پیشوند کیلو یعنی ده به توان ۳، مگا ده به توان ۶ و گیگا ده به توان ۹. یک کیلومتر، ده به توان ۳ متر و یک کیلومتر مربع، ده به توان ۶ متر مربع است؛ یعنی یک میلیون متر مربع، نه هزار. همین نکته در تبدیل یکاهای مساحت و حجم، بسیاری را به اشتباه می‌اندازد: وقتی یکای طول در عددی ضرب می‌شود، یکای مساحت در مجذور آن و یکای حجم در مکعب آن ضرب می‌شود. برای این تبدیل‌ها، تبدیل واحد مساحت کمک می‌کند.

توان در امتحان و کنکور

در سؤال‌های امتحانی، توان‌ها اغلب با پایه‌های متفاوت می‌آیند و کلید حل، هم‌پایه کردن آن‌هاست. ۸ به توان ۲ تقسیم بر ۴ به توان ۳، با نوشتن ۸ به شکل ۲ به توان ۳ و ۴ به شکل ۲ به توان ۲، می‌شود ۲ به توان ۶ تقسیم بر ۲ به توان ۶ که برابر ۱ است. در معادله‌های نمایی، مثل ۲ به توان x برابر ۳۲، با نوشتن ۳۲ به شکل ۲ به توان ۵، جواب x برابر ۵ است. اگر هم‌پایه کردن ممکن نباشد، لگاریتم راه حل است.

اشتباه‌های رایج

اشتباه اول، ضرب پایه در توان به جای توان گرفتن؛ ۲ به توان ۵، ۳۲ است، نه ۱۰. اشتباه دوم، جمع نماها در جمع توان‌ها، که فقط در ضرب درست است. اشتباه سوم، منفی دانستن حاصل توان منفی؛ ۲ به توان منفی ۳ مثبت است، فقط کوچک. اشتباه چهارم، فراموش کردن پرانتز برای پایهٔ منفی در ماشین حساب علمی. و اشتباه پنجم، وارد کردن توان کسری به شکل اعشاری گردشده و انتظار حاصل دقیق.

ابزارهای مرتبط

برای عبارت‌های ترکیبی با توان، جذر و توابع دیگر، ماشین حساب آنلاین و برای حاصل‌ضرب‌های بزرگ از نوع دیگر، ماشین حساب فاکتوریل را ببینید. بقیهٔ ابزارها در ابزارهای ریاضی آمده‌اند.