محاسبه لگاریتم

راهنمای استفاده از محاسبه لگاریتم

1. عدد مثبت (x) را وارد کنید.
2. مبنا (b) را مشخص کنید؛ پیش‌فرض ۱۰ است.
3. برای آنتی‌لگاریتم، بخش دوم را استفاده کنید.

محاسبه لگاریتم؛ چند بار ضرب کنیم؟

ساده‌ترین راه فهم لگاریتم، این پرسش است: مبنا را چند بار در خودش ضرب کنیم تا به عدد برسیم؟ لگاریتم ۱۰۰۰ در مبنای ۱۰، ۳ است، چون ۱۰ را سه بار در خودش ضرب می‌کنیم تا ۱۰۰۰ شود. لگاریتم ۸ در مبنای ۲، ۳ است، چون ۲ ضرب در ۲ ضرب در ۲ برابر ۸ است. پس لگاریتم، عمل معکوس توان است؛ همان‌طور که تفریق معکوس جمع و تقسیم معکوس ضرب است. اگر توان می‌پرسد ۱۰ به توان ۳ چند است، لگاریتم می‌پرسد ۱۰ به چه توانی ۱۰۰۰ می‌شود.

لگاریتم برای عددهایی که توان صحیح مبنا نیستند هم تعریف شده است. لگاریتم ۵۰ در مبنای ۱۰، حدود ۱٫۶۹۹ است، چون ۱۰ به توان ۱٫۶۹۹ حدود ۵۰ می‌شود. این عدد میان ۱ و ۲ است، چون ۵۰ میان ۱۰ و ۱۰۰ است. همین قاعده، راهی برای تخمین ذهنی است: لگاریتم اعشاری هر عدد، تقریبا تعداد رقم‌های آن منهای یک، به اضافهٔ کسری است.

سه مبنای پرکاربرد

لگاریتم اعشاری، با مبنای ۱۰، در علوم و مهندسی رایج است، چون با دستگاه شمارش دهدهی ما هماهنگ است. pH، دسی‌بل و بزرگای زلزله همه بر پایهٔ آن ساخته شده‌اند. در ماشین حساب‌ها معمولا با نماد log نوشته می‌شود. لگاریتم طبیعی، با مبنای e، در ریاضیات پیشرفته، فیزیک و اقتصاد رایج است، چون در مشتق و انتگرال و رشد پیوسته، ساده‌ترین شکل را دارد. نماد آن ln است. لگاریتم دودویی، با مبنای ۲، در علوم کامپیوتر و نظریهٔ اطلاعات به کار می‌رود، چون رایانه‌ها با بیت کار می‌کنند.

یک هشدار: در بسیاری از کتاب‌های ریاضی دانشگاهی و در زبان‌های برنامه‌نویسی مثل پایتون و جاوااسکریپت، تابع log به معنای لگاریتم طبیعی است، نه اعشاری. اگر نتیجهٔ برنامه یا کتاب با ماشین حسابتان فرق دارد، این را بررسی کنید. ابزار هر سه را کنار هم نشان می‌دهد تا با یک نگاه بدانید کدام عدد را می‌خواهید. برای عدد ۱۰۰۰، لگاریتم اعشاری ۳، طبیعی حدود ۶٫۹۰۸ و دودویی حدود ۹٫۹۶۶ است.

تغییر مبنا

ماشین حساب‌های معمولی فقط لگاریتم اعشاری و طبیعی را دارند. برای مبناهای دیگر، از قاعدهٔ تغییر مبنا استفاده می‌شود: لگاریتم x در مبنای b، برابر لگاریتم x تقسیم بر لگاریتم b است؛ در هر مبنایی که هر دو را حساب کنید، از جمله ۱۰ یا e. لگاریتم ۸۱ در مبنای ۳، برابر لگاریتم ۸۱ تقسیم بر لگاریتم ۳ است که ۴ می‌شود. این ابزار همین قاعده را برای مبنای دلخواه به کار می‌برد و لازم نیست خودتان تقسیم کنید.

قوانین لگاریتم

لگاریتم چند قانون دارد که آن را به ابزاری قدرتمند تبدیل کرده‌اند. لگاریتم حاصل‌ضرب، مجموع لگاریتم‌هاست؛ لگاریتم حاصل تقسیم، تفاضل آن‌ها؛ و لگاریتم توان، توان ضرب در لگاریتم. به زبان ساده، لگاریتم ضرب را به جمع و توان را به ضرب تبدیل می‌کند. پیش از رایانه، همین ویژگی ضرب عددهای بزرگ را آسان می‌کرد: لگاریتم دو عدد را از جدول می‌خواندند، جمع می‌کردند و با آنتی‌لگاریتم، حاصل‌ضرب را به دست می‌آوردند. خط‌کش محاسبه که تا دههٔ ۱۹۷۰ میلادی ابزار اصلی مهندسان بود، بر همین اساس کار می‌کرد.

دو نتیجهٔ ساده هم از تعریف می‌آید: لگاریتم ۱ در هر مبنایی صفر است، چون هر مبنا به توان صفر یک است؛ و لگاریتم خود مبنا، یک است. یک اشتباه رایج، پخش کردن لگاریتم روی جمع است؛ لگاریتم x به علاوهٔ y، برابر لگاریتم x به علاوهٔ لگاریتم y نیست. لگاریتم ۱۰ به علاوهٔ ۹۰ برابر لگاریتم ۱۰۰، یعنی ۲ است؛ اما لگاریتم ۱۰ به علاوهٔ لگاریتم ۹۰ حدود ۲٫۹۵ می‌شود.

چرا عدد باید مثبت باشد؟

مبنای مثبت به هر توانی برسد، چه مثبت، چه منفی، چه کسری، حاصل همیشه مثبت است. ۱۰ به توان منفی ۵ عدد بسیار کوچکی است، اما هنوز مثبت. پس هیچ توانی وجود ندارد که ۱۰ را به صفر یا عدد منفی برساند و لگاریتم صفر و عددهای منفی در عددهای حقیقی تعریف نمی‌شود. مبنا هم باید مثبت و مخالف یک باشد؛ یک به هر توانی یک است و نمی‌شود با آن به عدد دیگری رسید. ابزار در هر دو حالت، پیام مشخصی نشان می‌دهد.

لگاریتم عددهای میان صفر و یک، منفی است؛ چون برای رسیدن به آن‌ها، مبنا را به توان منفی می‌رسانیم. لگاریتم ۰٫۰۱ در مبنای ۱۰، منفی ۲ است. هرچه عدد به صفر نزدیک‌تر شود، لگاریتم آن منفی‌تر می‌شود و بی‌نهایت منفی می‌رود.

آنتی‌لگاریتم؛ برگشت از لگاریتم

آنتی‌لگاریتم، عمل معکوس لگاریتم است: اگر لگاریتم یک عدد را بدانید، آنتی‌لگاریتم خود عدد را برمی‌گرداند. آنتی‌لگاریتم y در مبنای b، همان b به توان y است. در ابزار، مبنا از کادر مبنا خوانده می‌شود و عدد را در کادر سوم می‌نویسید. آنتی‌لگاریتم ۳ در مبنای ۱۰، ۱۰۰۰ است. در شیمی، اگر pH محلولی ۳٫۵ باشد، غلظت یون هیدروژن آنتی‌لگاریتم منفی ۳٫۵، یعنی ۱۰ به توان منفی ۳٫۵ است که حدود ۰٫۰۰۰۳۲ مول بر لیتر می‌شود. برای توان‌های بزرگ‌تر با همهٔ رقم‌ها، ماشین حساب توان را ببینید.

pH، دسی‌بل و زلزله

بسیاری از مقیاس‌های علمی لگاریتمی‌اند، چون کمیت‌هایی که می‌سنجند، در بازه‌ای بسیار بزرگ تغییر می‌کنند. pH، منفی لگاریتم اعشاری غلظت یون هیدروژن است. آب خالص با غلظت ۱۰ به توان منفی ۷، pH برابر ۷ دارد. هر واحد کاهش pH، یعنی ده برابر اسیدی‌تر؛ آب‌لیمو با pH حدود ۲، حدود صد هزار برابر آب خالص یون هیدروژن دارد؛ چون پنج واحد اختلاف pH، یعنی ده به توان پنج.

شدت صدا با دسی‌بل سنجیده می‌شود که ده برابر لگاریتم اعشاری نسبت توان دو صداست. ده برابر شدن توان صدا، ۱۰ دسی‌بل و صد برابر شدن آن، ۲۰ دسی‌بل اضافه می‌کند. برای همین، صدایی ۸۰ دسی‌بلی، ده برابر صدایی ۷۰ دسی‌بلی توان دارد. در بزرگای زلزله هم، هر یک واحد افزایش، یعنی ده برابر شدن دامنهٔ لرزش ثبت‌شده و حدود ۳۲ برابر شدن انرژی آزادشده، چون انرژی با ده به توان ۱٫۵ رشد می‌کند. زلزلهٔ ۷ ریشتری، حدود هزار برابر زلزلهٔ ۵ ریشتری انرژی دارد.

زمان دو برابر شدن؛ لگاریتم در مالی

اگر سرمایه‌ای با نرخ ثابت r در هر دوره رشد کند، زمان دو برابر شدن آن، لگاریتم ۲ تقسیم بر لگاریتم یک به علاوهٔ r است. با رشد سالانهٔ ۲۵ درصد، این زمان حدود ۳٫۱ سال و با رشد ۳۰ درصد، حدود ۲٫۶۴ سال است. با این ابزار، عدد ۲ را در کادر عدد و ۱٫۲۵ را در کادر مبنا بنویسید؛ نتیجه، همان زمان دو برابر شدن است، چون لگاریتم ۲ در مبنای ۱٫۲۵ را می‌خواهیم. همین روش برای سه برابر یا ده برابر شدن هم کار می‌کند. برای جدول کامل رشد، محاسبهٔ سود مرکب را ببینید.

لگاریتم دودویی و رایانه

لگاریتم در مبنای ۲، به این پرسش پاسخ می‌دهد که برای نمایش n حالت، چند بیت لازم است. برای یک میلیون حالت، لگاریتم دودویی حدود ۱۹٫۹۳ است؛ پس ۲۰ بیت کافی است. همین لگاریتم، تعداد قدم‌های جست‌وجوی دودویی را هم می‌دهد: برای پیدا کردن یک نام در فهرستی مرتب از یک میلیون نام، با نصف کردن پیاپی فهرست، حداکثر ۲۰ قدم لازم است. این دلیل سرعت جست‌وجو در پایگاه‌های دادهٔ بزرگ است. برای تبدیل عددها میان مبناهای ۲ و ۱۰ و ۱۶، تبدیل مبنای اعداد را ببینید.

تعداد رقم‌های یک عدد

لگاریتم اعشاری، راهی سریع برای شمردن رقم‌های عددهای بزرگ است: جزء صحیح لگاریتم را به علاوهٔ یک کنید. لگاریتم ۲ به توان ۶۴، حدود ۱۹٫۲۷ است؛ پس این عدد ۲۰ رقم دارد. برای عددهایی که خودشان بسیار بزرگ‌اند و حتی نمی‌شود آن‌ها را نوشت، مثل ۲ به توان یک میلیون، از قانون توان استفاده می‌کنیم: لگاریتم آن، یک میلیون ضرب در لگاریتم ۲، یعنی حدود ۳۰۱٬۰۳۰ است؛ پس ۳۰۱٬۰۳۰ رقم دارد.

نمودارهای لگاریتمی

وقتی داده‌ها در بازه‌ای بسیار گسترده‌اند، مثل جمعیت شهرها از هزار تا ده میلیون نفر یا قیمت یک دارایی در چند دهه، نمودار با محور معمولی، عددهای کوچک را به یک خط صاف تبدیل می‌کند. در نمودار لگاریتمی، هر فاصلهٔ برابر روی محور، یک ضریب برابر است؛ از ۱۰ تا ۱۰۰ همان‌قدر فاصله دارد که از ۱۰۰ تا ۱۰۰۰. در این نمودارها، رشد نمایی به شکل خط راست دیده می‌شود و تغییر شیب خط، تغییر نرخ رشد را نشان می‌دهد. هنگام خواندن نمودارهای همه‌گیری یا بازار، همیشه بررسی کنید که محور معمولی است یا لگاریتمی.

عدد e؛ چرا لگاریتم طبیعی طبیعی است؟

عدد e، حدود ۲٫۷۱۸۲۸، از یک پرسش ساده دربارهٔ سود بانکی به دست آمد. اگر سود ۱۰۰ درصدی سالانه، یک بار در پایان سال حساب شود، سرمایه دو برابر می‌شود. اگر نیم‌ساله حساب شود، ۱٫۵ به توان ۲، یعنی ۲٫۲۵ برابر. اگر ماهانه، حدود ۲٫۶۱ برابر. و اگر هر لحظه، یعنی پیوسته، دقیقا e برابر. پس e، ضریب رشد پیوسته با نرخ صد درصد است و لگاریتم طبیعی، زمان لازم برای رسیدن به هر ضریب با این رشد پیوسته را می‌دهد. به همین دلیل، در فرمول‌های رشد جمعیت، واپاشی مواد پرتوزا، سرد شدن اجسام و بهرهٔ پیوسته، لگاریتم طبیعی خودبه‌خود ظاهر می‌شود.

نیمه‌عمر مواد پرتوزا نمونهٔ خوبی است. اگر ماده‌ای نیمه‌عمر ۸ روزه داشته باشد، پس از چند روز فقط ده درصد آن باقی می‌ماند؟ پاسخ، ۸ ضرب در لگاریتم ۱۰ در مبنای ۲ است، یعنی ۸ ضرب در حدود ۳٫۳۲، که حدود ۲۶٫۶ روز می‌شود. با ابزار، عدد ۱۰ و مبنای ۲ را وارد کنید تا ۳٫۳۲ را ببینید. همین منطق در پزشکی هم برای زمان خروج دارو از بدن به کار می‌رود.

لگاریتم در حل معادله‌های نمایی

وقتی مجهول در توان است، مثل ۳ به توان x برابر ۵۰، نمی‌شود دو طرف را هم‌پایه کرد، چون ۵۰ توان صحیح ۳ نیست. اینجا لگاریتم راه حل است: x برابر لگاریتم ۵۰ در مبنای ۳ است. در ابزار، ۵۰ را عدد و ۳ را مبنا بنویسید تا حدود ۳٫۵۶ را ببینید. بررسی: ۳ به توان ۳٫۵۶ حدود ۵۰ است؛ آن را در کادر آنتی‌لگاریتم با همان مبنای ۳ امتحان کنید. این روش برای مسئله‌هایی مثل اینکه جمعیتی با رشد ۲ درصد در سال، کی دو برابر می‌شود، یا کی به عدد مشخصی می‌رسد، به کار می‌رود. برای جمعیتی با رشد ۲ درصد، عدد ۲ و مبنای ۱٫۰۲ را وارد کنید؛ حدود ۳۵ سال. در کنکور هم، سؤال‌های معادلهٔ نمایی معمولا طوری طراحی می‌شوند که با هم‌پایه کردن حل شوند، اما اگر نشد، همین تبدیل به لگاریتم راه همیشگی است و نتیجهٔ آن را با قوانین لگاریتم ساده می‌کنید.

تاریخچهٔ کوتاه لگاریتم

لگاریتم در آغاز قرن هفدهم میلادی، برای ساده کردن محاسبه‌های نجومی و دریانوردی ساخته شد. منجمان با ضرب عددهای چندرقمی درگیر بودند و هر ضرب دستی، ساعت‌ها طول می‌کشید و احتمال اشتباه داشت. جدول‌های لگاریتم، ضرب را به جمع تبدیل کردند و کار چند ساعته را به چند دقیقه رساندند. تا پیش از ماشین حساب‌های الکترونیکی، جدول لگاریتم در کتاب‌های درسی دبیرستان چاپ می‌شد و دانش‌آموزان کار با آن را یاد می‌گرفتند. امروز ماشین حساب جای جدول را گرفته، اما مفهوم لگاریتم در علوم، از همیشه پرکاربردتر است. حتی حس شنوایی و بینایی ما هم تا حدی لگاریتمی کار می‌کند؛ برای اینکه صدایی دو برابر بلندتر به نظر برسد، توان آن باید چند برابر شود، نه فقط دو برابر.

اشتباه‌های رایج

اشتباه اول، پخش کردن لگاریتم روی جمع است. اشتباه دوم، یکی گرفتن log در ماشین حساب و در زبان برنامه‌نویسی. اشتباه سوم، حساب کردن لگاریتم صفر یا عدد منفی. اشتباه چهارم، تفسیر خطی مقیاس‌های لگاریتمی؛ زلزلهٔ ۶ ریشتری دو برابر زلزلهٔ ۳ ریشتری نیست، بلکه دامنه‌اش هزار برابر است. اشتباه پنجم، جابه‌جا نوشتن عدد و مبنا در کادرهای ابزار.

ابزارهای مرتبط

برای عبارت‌های ترکیبی با لگاریتم، ln و توان، ماشین حساب آنلاین و برای جذر و ریشه‌های بالاتر، ماشین حساب جذر را ببینید. بقیهٔ ابزارها در ابزارهای ریاضی آمده‌اند.