فهرست مطالب
حل معادله درجه دو با این ابزار، با وارد کردن سه ضریب a، b و c در معادلهٔ ax² + bx + c = 0 انجام میشود. نتیجهٔ اصلی، ریشه‌های معادله است و زیر آن، نوع ریشهها نوشته میشود: دو ریشهٔ حقیقی متمایز، یک ریشهٔ مضاعف، یا دو ریشهٔ مختلط مزدوج. در کاشی‌های پایین، دلتا، رأس سهمی، مجموع ریشهها و حاصلضرب ریشهها نمایش داده می‌شوند و زیر همه، مراحل حل با عددهای خود شما نوشته میشود. نمونهٔ پیش‌فرض، x² − 5x + 6 = 0 است که دلتای آن ۱ و ریشه‌هایش ۳ و ۲ هستند. ضریب‌های منفی و اعشاری پذیرفته می‌شوند و جواب با هر تغییر، بی‌درنگ به‌روز میشود. اگر a را صفر بگذارید، ابزار می‌گوید معادله درجه یک شده و جواب همان را میدهد.
راهنمای استفاده از حل معادله درجه دو
- ضرایب a، b و c معادلهٔ ax² + bx + c = 0 را وارد کنید.
- دلتا و نوع ریشهها مشخص میشود.
- ریشهها (حقیقی یا مختلط) و رأس سهمی را ببینید.
حل معادله درجه دو با فرمول دلتا
معادلهٔ درجه دو، معادله‌ای است که بالاترین توان مجهول در آن دو است. شکل استاندارد آن ax² + bx + c = 0 است که a نباید صفر باشد. پیش از وارد کردن ضریب‌ها در ابزار، معادله را به همین شکل درآورید؛ یعنی همهٔ جمله‌ها را به یک طرف ببرید تا طرف دیگر صفر شود. برای نمونه، x² = 5x − 6 پس از جابه‌جایی میشود x² − 5x + 6 = 0، با a برابر ۱، b برابر منفی ۵ و c برابر ۶.
فرمول عمومی حل، که به آن روش دلتا می‌گویند، دو قدم دارد. اول دلتا را حساب می‌کنیم: b به توان دو منهای چهار ضرب در a ضرب در c. بعد ریشهها را: منفی b به علاوه یا منهای جذر دلتا، تقسیم بر دو a. در نمونهٔ پیش‌فرض، دلتا برابر ۲۵ منهای ۲۴، یعنی ۱ است و جذر آن ۱. ریشهها ۵ به علاوه یا منهای ۱، تقسیم بر ۲ هستند؛ یعنی ۳ و ۲. ابزار همین قدم‌ها را در مراحل حل نشان میدهد.
دلتا چه می‌گوید؟
علامت دلتا، پیش از حل معادله می‌گوید چند ریشهٔ حقیقی وجود دارد. اگر دلتا مثبت باشد، جذر آن عددی حقیقی است و به علاوه و منها، دو ریشهٔ متفاوت می‌سازند. اگر دلتا صفر باشد، جذرش صفر است و به علاوه و منها یک عدد را می‌دهند؛ یعنی یک ریشهٔ مضاعف. اگر دلتا منفی باشد، جذر آن در عددهای حقیقی تعریف نمی‌شود و معادله ریشهٔ حقیقی ندارد.
در نمونهٔ x² − 6x + 9 = 0، دلتا برابر ۳۶ منهای ۳۶، یعنی صفر است و ریشهٔ مضاعف ۳ است. این معادله در واقع (x − 3)² = 0 است. در نمونهٔ x² + 2x + 5 = 0، دلتا برابر ۴ منهای ۲۰، یعنی منفی ۱۶ است و ابزار ریشه‌های مختلط منفی ۱ به علاوه یا منهای ۲i را نشان میدهد.
ریشه‌های مختلط؛ وقتی دلتا منفی است
در کتاب‌های دبیرستان، معمولا گفته میشود معادله‌ای با دلتای منفی جواب ندارد. این در عددهای حقیقی درست است. اما در عددهای مختلط، که در دانشگاه و برخی رشته‌های مهندسی به کار می‌روند، هر معادلهٔ درجه دو دقیقا دو ریشه دارد. عدد i، که به آن یکهٔ موهومی می‌گویند، عددی است که مجذورش منفی یک است. ریشه‌های مختلط معادلهٔ درجه دو با ضریب‌های حقیقی، همیشه مزدوج‌اند؛ یعنی بخش حقیقی یکسان و بخش موهومی قرینه دارند.
اگر در درس شما فقط عددهای حقیقی مطرح است، وقتی ابزار نوشت ریشهٔ حقیقی ندارد، پاسخ شما همین است: معادله جواب حقیقی ندارد. بخش حقیقی ریشه‌های مختلط، یعنی منفی b تقسیم بر دو a، همان طول رأس سهمی است؛ پس حتی در این حالت هم عدد بی‌معنا نیست.
سهمی و رأس آن
نمودار عبارت ax² + bx + c، یک سهمی است. اگر a مثبت باشد، دهانهٔ سهمی رو به بالاست و رأس آن پایین‌ترین نقطه است؛ اگر a منفی باشد، دهانه رو به پایین است و رأس بالاترین نقطه. ریشه‌های معادله، جاهایی‌اند که سهمی محور x را قطع میکند. دلتای مثبت یعنی دو نقطهٔ برخورد، دلتای صفر یعنی سهمی محور را فقط در رأس لمس میکند و دلتای منفی یعنی سهمی اصلا به محور x نمی‌رسد.
ابزار رأس سهمی را در کاشی جداگانه نشان میدهد. طول رأس، منفی b تقسیم بر دو a است و عرض آن، مقدار عبارت در همین نقطه. در نمونهٔ پیش‌فرض، رأس (۲٫۵، منفی ۰٫۲۵) است؛ درست وسط دو ریشهٔ ۲ و ۳، چون سهمی نسبت به خط عمودی که از رأس می‌گذرد، متقارن است. این تقارن یک راه بررسی سریع هم هست: میانگین دو ریشه، همیشه طول رأس است.
مجموع و حاصلضرب ریشهها
دو رابطهٔ ساده، که به آنها روابط ویت می‌گویند، بدون حل معادله، چیزهای زیادی دربارهٔ ریشهها می‌گویند. مجموع دو ریشه، منفی b تقسیم بر a است و حاصلضرب آنها، c تقسیم بر a. در نمونهٔ پیش‌فرض، مجموع ۵ و حاصلضرب ۶ است و ۳ و ۲ هر دو شرط را دارند. ابزار این دو عدد را در کاشی‌های جداگانه نشان میدهد.
این روابط سه کاربرد مهم دارند. اول، بررسی جواب: اگر ریشه‌هایی که با دست حساب کرده‌اید، مجموع و حاصل‌ضربشان با این دو عدد نخواند، اشتباه کرده‌اید. دوم، ساختن معادله از ریشهها: معادله‌ای که ریشه‌هایش ۴ و منفی ۱ است، x² − 3x − 4 = 0 است، چون مجموع ۳ و حاصلضرب منفی ۴ است. سوم، سؤال‌های تستی کنکور که مثلا مجموع مجذور ریشهها را می‌خواهند؛ این‌ها بدون پیدا کردن ریشهها و فقط با مجموع و حاصلضرب حل می‌شوند.
| معادله | دلتا | ریشهها | مجموع | حاصلضرب |
|---|---|---|---|---|
| x² − 5x + 6 = 0 | ۱ | ۳ و ۲ | ۵ | ۶ |
| x² − 6x + 9 = 0 | ۰ | ۳ مضاعف | ۶ | ۹ |
| x² + 2x + 5 = 0 | −۱۶ | −۱ ± ۲i | −۲ | ۵ |
| 2x² − 3x − 2 = 0 | ۲۵ | ۲ و −۰٫۵ | ۱٫۵ | −۱ |
| x² + 3x − 40 = 0 | ۱۶۹ | ۵ و −۸ | −۳ | −۴۰ |
تجزیه؛ وقتی سریع‌تر از دلتاست
اگر ضریب‌ها عددهای صحیح کوچکی باشند، اغلب تجزیه سریع‌تر از فرمول دلتاست. برای x² − 5x + 6، دو عدد پیدا می‌کنیم که حاصل‌ضربشان ۶ و مجموعشان منفی ۵ باشد؛ منفی ۲ و منفی ۳. پس عبارت (x − 2)(x − 3) است و ریشهها ۲ و ۳. وقتی a یک نیست، مثل 2x² − 3x − 2، تجزیه کمی سخت‌تر است: (2x + 1)(x − 2) که ریشه‌هایش منفی نیم و ۲ است. اگر پس از چند دقیقه دو عدد مناسب پیدا نکردید، به فرمول دلتا برگردید؛ معادله ممکن است ریشه‌های گنگ داشته باشد که تجزیه با عددهای صحیح ممکن نیست.
یک نشانهٔ ساده: اگر دلتا مربع کامل باشد، مثل ۱ یا ۲۵ یا ۱۶۹، ریشهها گویا هستند و تجزیه با عددهای صحیح یا کسری ممکن است. اگر دلتا مربع کامل نباشد، مثل ۵ یا ۱۲، ریشهها جذر دارند و تجزیهٔ ساده جواب نمی‌دهد. ابزار دلتا را نشان میدهد و برای دیدن مربع کامل بودن آن، ماشین حساب جذر کمک میکند.
نمونه: مساحت زمین
طول زمینی مستطیل‌شکل، ۳ متر بیشتر از عرض آن است و مساحتش ۴۰ متر مربع. ابعاد آن چقدر است؟ اگر عرض را x بنامیم، طول x + 3 است و مساحت x(x + 3) = 40. پس از باز کردن پرانتز و بردن ۴۰ به طرف چپ، x² + 3x − 40 = 0 به دست می‌آید. ابزار ریشه‌های ۵ و منفی ۸ را میدهد. چون عرض زمین نمی‌تواند منفی باشد، ریشهٔ منفی را کنار می‌گذاریم: عرض ۵ و طول ۸ متر است. بررسی: ۵ ضرب در ۸ برابر ۴۰.
این نمونه درس مهمی دارد: معادله همیشه دو ریشه میدهد، اما مسئلهٔ واقعی ممکن است فقط یکی را بپذیرد. پس از حل، هر ریشه را در متن مسئله بگذارید و ببینید معنا دارد یا نه. برای محاسبه‌های دیگر مستطیل، مثل محیط و قطر، محاسبهٔ مستطیل را ببینید.
نمونه: پرتاب توپ
در فیزیک، ارتفاع جسمی که رو به بالا پرتاب میشود، با معادله‌ای درجه دو بر حسب زمان بیان میشود. اگر توپی از ارتفاع ۱٫۵ متری با سرعت ۲۰ متر بر ثانیه رو به بالا پرتاب شود و شتاب گرانش را ۹٫۸ بگیریم، ارتفاع پس از t ثانیه برابر منفی ۴٫۹t² + 20t + 1.5 است. برای پیدا کردن زمان رسیدن به زمین، این عبارت را برابر صفر می‌گذاریم و a را منفی ۴٫۹، b را ۲۰ و c را ۱٫۵ وارد می‌کنیم.
ابزار دو ریشه میدهد: حدود ۴٫۱۶ و حدود منفی ۰٫۰۷. ریشهٔ منفی، زمانی پیش از پرتاب است و معنای فیزیکی ندارد؛ پس توپ حدود ۴٫۱۶ ثانیه پس از پرتاب به زمین می‌رسد. رأس سهمی هم بیشترین ارتفاع را میدهد: حدود ۲٫۰۴ ثانیه پس از پرتاب، توپ به حدود ۲۱٫۹ متری می‌رسد. این عددها با مقاومت هوا کمی تغییر می‌کنند، اما برای مسئله‌های درسی، همین مدل به کار می‌رود.
مربع کامل کردن؛ فرمول از کجا آمده؟
فرمول دلتا از روشی به نام مربع کامل کردن به دست می‌آید. دو طرف ax² + bx + c = 0 را بر a تقسیم می‌کنیم، عدد ثابت را به طرف دیگر می‌بریم و به دو طرف، مجذور نصف ضریب x را اضافه می‌کنیم. حالا طرف چپ یک مربع کامل است و با جذر گرفتن از دو طرف، فرمول ریشهها به دست می‌آید. دانستن این مسیر، فرمول را از یک جملهٔ حفظی به نتیجه‌ای قابل فهم تبدیل میکند و همین روش، برای پیدا کردن رأس سهمی و نوشتن آن به شکل a(x − h)² + k هم به کار می‌رود.
دقت عددی و ضریب‌های اعشاری
ابزار جواب‌ها را تا ده رقم معنادار نمایش میدهد. ریشه‌هایی مثل جذر ۲ یا عدد طلایی، که اعشار بی‌پایان دارند، گرد شده نمایش داده می‌شوند؛ مثلا ریشه‌های x² − x − 1 = 0 حدود ۱٫۶۱۸ و منفی ۰٫۶۱۸ هستند که اولی همان نسبت طلایی است. با ضریب‌های اعشاری، رایانه عددهایی مثل ۰٫۱ یا ۱٫۴ را دقیقا ذخیره نمی‌کند و دلتایی که از نظر ریاضی صفر است، ممکن است عددی بسیار کوچک، مثبت یا منفی، بشود. برای نمونه، x² − 1.4x + 0.49 = 0 همان (x − 0.7)² است، اما محاسبهٔ خام دلتا حدود منفی دو ضرب در ده به توان منفی شانزده میشود و بدون اصلاح، به جای ریشهٔ مضاعف ۰٫۷، دو ریشهٔ مختلط نشان داده می‌شد. این ابزار دلتایی را که نسبت به اندازهٔ ضریب‌ها در حد این خطای گرد کردن است، صفر در نظر می‌گیرد؛ پس برای این معادله، ریشهٔ مضاعف ۰٫۷ را درست نشان میدهد. اگر در ابزار دیگری با چنین حالتی روبه‌رو شدید، ضریب‌ها را در ده یا صد ضرب کنید تا صحیح شوند؛ ریشهها تغییری نمی‌کنند.
معادلهٔ درجه دو در کنکور و امتحان
در امتحان‌های پایانی و کنکور، معادلهٔ درجه دو کمتر به شکل مستقیم حل ریشهها می‌آید و بیشتر در دل سؤال‌های دیگر پنهان است. سؤال‌هایی مثل اینکه به ازای چه مقدار m، معادله ریشهٔ مضاعف دارد، با برابر صفر گذاشتن دلتا حل می‌شوند. سؤال اینکه معادله دو ریشهٔ هم‌علامت دارد، با مثبت بودن حاصلضرب ریشهها، یعنی c تقسیم بر a، پاسخ داده میشود. و سؤال اینکه دو ریشه قرینهٔ هم‌اند، یعنی مجموع ریشهها صفر است و b باید صفر باشد. در همهٔ این‌ها، دانستن معنای دلتا و روابط ریشهها، از حفظ کردن فرمول مهم‌تر است.
برای تمرین، می‌توانید یک پارامتر را در ابزار تغییر دهید و ببینید دلتا و نوع ریشهها چطور عوض می‌شوند. مثلا در x² − 6x + c = 0، با c برابر ۸ دو ریشهٔ حقیقی دارید، با c برابر ۹ یک ریشهٔ مضاعف و با c برابر ۱۰ ریشهٔ حقیقی ندارید. دیدن این تغییر، درک اینکه چرا دلتا مرز میان این حالت‌هاست را آسان‌تر میکند. همین آزمایش را با ضریب b هم انجام دهید تا ببینید رأس سهمی چطور به چپ و راست جابه‌جا میشود.
معادله‌هایی که به درجه دو تبدیل می‌شوند
برخی معادله‌ها در ظاهر درجه دو نیستند، اما با یک تغییر متغیر به آن تبدیل می‌شوند. معادلهٔ درجه چهار x⁴ − 5x² + 4 = 0، با گذاشتن t به جای x²، میشود t² − 5t + 4 = 0 که ریشه‌هایش ۱ و ۴ است. بعد از هر کدام جذر می‌گیریم و چهار ریشهٔ ۱، منفی ۱، ۲ و منفی ۲ به دست می‌آید. معادله‌های کسری هم پس از ضرب در مخرج مشترک، اغلب به درجه دو می‌رسند؛ فقط ریشه‌هایی را که مخرج را صفر می‌کنند، کنار بگذارید. این ریشهها در معادلهٔ درجه دوی ساخته‌شده درست‌اند، اما در معادلهٔ کسری اصلی، تقسیم بر صفر می‌سازند و جواب به حساب نمی‌آیند.
اشتباه‌های رایج
اشتباه اول، وارد کردن ضریب‌ها پیش از بردن همهٔ جمله‌ها به یک طرف است. اشتباه دوم، فراموش کردن علامت منفی b؛ در x² − 5x + 6، b منفی ۵ است، نه ۵. اشتباه سوم، فراموش کردن پرانتز در محاسبهٔ دستی b به توان دو وقتی b منفی است؛ منفی ۵ به توان دو، ۲۵ مثبت است. اشتباه چهارم، تقسیم فقط منفی b بر دو a و فراموش کردن جذر دلتا. و اشتباه پنجم، پذیرفتن هر دو ریشه در مسئلهٔ کلامی بدون بررسی معنای آنها.
ابزارهای مرتبط
اگر معادلهٔ شما توان دو ندارد، حل معادلهٔ درجه یک و برای محاسبه‌های عمومی با توان و جذر و توابع مثلثاتی، ماشین حساب آنلاین را ببینید. بقیهٔ ابزارها در ابزارهای ریاضی آمده‌اند.
آخرین بازبینی محتوا: · تیم تحریریه ابزار جیبی